Конев В.В. Дифференцирование функций
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции 
Дифференцирование функций
Основные теоремы
Формула Тейлора
Доказательство. По определению производной
Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде
где α(x) – бесконечно малая функция при x → a. Тогда
Следовательно, при x → a.
Заметим, что дифференцируемость функции в некоторой точке означает ее гладкость в окрестности этой точки, что влечет за собой непрерывность функции в рассматриваемой точке. Однако обратное утверждение несправедливо – функция, обладающая свойством непрерывности в некоторой точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.
Рис. 8. Непрерывная в точке a функция 
не является дифференцируемой в этой точке.
пределы — Доказать, что функция бесконечно дифференцируема
Доказать, что следующая функция бесконечно дифференцируема при x=0 и что все её производные в нуле равны нулю:
Так понимаю, доказательство бесконечной дифференцируемости нужно вести по индукции. Более менее понятно, почему все производные равны нулю, так как при вычислении соответствующего предела в числителе возникает некоторая комбинация отрицательных степеней x, а в знаменателе — e в степени 1/x^2, понятно, что такое выражение стремится к нулю при x стремящемся к нулю. Но проблемы возникают именно с доказательством существования соответствующих производных, кроме того хотелось бы более строго обосновать, что все производные равны нулю в нуле.
задан 16 Дек ’19 17:12
Первая производная в нуле равна нулю по определению производной. Во всех остальных точках вычисляется по формуле. Тогда вторая производная в нуле опять берётся по определению, а в остальных точках — по формуле. Вы же сами всё заметили, что там в пределе будет 0. Существование производных в нуле доказывается по определению через предел, а в остальных точках — по теоремам о дифференцировании арифметических операций и сложных функций.
(16 Дек ’19 17:31) caterpillar
@Герман Якимов: там везде получается какой-то многочлен, делённый на e^. Это доказывается по индукции с использованием правила дифференцирования частного.
Экспонента растёт быстрее многочлена, откуда следует, что предел равен нулю.
Как доказать что функция бесконечно дифференцируема
Необходимо решить такую задачу.
Вообще говоря, дана функция, заданная кусочно. f(x)=e^(-1/(1-x^2)) для |x|=1
доказать, что функция e^(-1/1-x^2) бесконечно дифференцирована в точке 1 при стремлении слева. Тем самым докажется дифференцируемость в 1 (так как справа очевидно. )
У меня есть зачатки решения, доведенные до применения формулы Лейбница для нахождения энной производной произведения двух функций, но я не могу доказать, что сумма тех пределов будет равна нулю (что должно получиться, так как первая производная от f(x) равна нулю в единице).
Помогите, не знаю что и делать.
| Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются |
| Форум работает на скрипте © Ikonboard.com |
Как доказать что функция бесконечно дифференцируема
Объясните, пожалуйста, популярно.
Я понимаю что значит дифференцируема функция в принципе, значит, у нее есть производная. Но как понять «бесконечно дифференцируема»?
Дваждыдифферинцируема, трижды. бесконечно
В каждой точки этой окрестности имеет производную любого порядка.
(0) апну. Учился на Прикладной математике, кроме Истории КПСС и ин-яза и физики была математика, математика, математика.. Тебе это надо?
(0) Нет, если ф-я в принципе дифференцируема в окрестности точки, то не факт, что в самой точке существует производная (например угол).
Ну, если есть понимание дифференцируемости один раз, то индуктивно, подойдёте к понятию дважды дифференцируемой функции и т.д. И вот если функция сколько угодно раз(т.е. бесконечное число раз) может быть дифференцирована, то вот это оно и значит.
Через о малые и пределы.