Как составить таблицу кэли

Составить таблицу Кэли группы

Составить таблицу Кэли группы G, проверить все требования группы. Найти порядки элементов группы G.

Лучшие ответы ( 2 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Найти порядок группы, таблицу (Кэли) умножений элементов, все нормальные подгруппы группы
Задача по алгебре.Теория групп.Найти порядок группы, таблицу (Кэли) умножений элементов, все.

Найти порядок группы, таблицу (Кэли) умножений элементов
В задании задана группа через порождающие элементы и определяющие соотношения. Для контроля.

Найти порядок группы, таблицу (Кэли) умножений элементов
Помогите пожалуйста, с решением задачи. В задании задана группа через порождающие элементы и.

Написать программу, которая строит таблицу Кэли для групп автоморфизмов конечных группоидов
Нужна очень помощь для дипломной работы. Надо написать код программы, которая строит таблицу Кэли.

4043 / 3008 / 912
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 6,145

Сообщение было отмечено Pando как решение

Решение

Pando, это группа D₇ — 7-я диэдральная группа. Элементы R составляют циклическую подгруппу из семи элементов, все элементы S имеют период (порядок некоторые говорят) 2. При этом выполняются соотношения SRS=R -1 (ставьте у R и S любой индекс). Теперь легко составить таблицу Кэли.

Обобщенный закон ассоциативности. Таблица Кэли

Неизвестный, автор. Обобщенный закон ассоциативности. Таблица Кэли / автор Неизвестный, Л. Ю. Нестерова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2015. — № 10 (90). — С. 33-37. — URL: https://moluch.ru/archive/90/18720/ (дата обращения: 11.11.2023).

В статье рассматривается вопрос об определении свойств бинарной операции (в частности, ассоциативность) некоторой конечной алгебры, заданной таблицей Кэли.

Ключевые слова: алгебра, таблица Кэли, тест ассоциативности.

The article discusses the issue of determining the properties of binary operations (in particular, associativity) of some finite algebra given by the Cayley table.

Keywords: algebra, Cayley table, test of associativity

В данной статье рассмотрим вопрос, касающийся свойств бинарной операции некоторой конечной алгебры [4], заданной так называемой таблицей Кэли [1, 3]. По этой таблице требуется определить, ассоциативна ли данная бинарная операция или нет. Для определения ассоциативности бинарной операции можно воспользоваться тестом ассоциативности по Лайту [3]. В дальнейшем покажем, как работает данный метод.

Рассмотрим алгебру с одной бинарной операцией . Такую алгебру называют группоидом [2, 3].

Помимо замкнутости (то есть отображения группоид может обладать и другими свойствами, например (в скобках указаны принятые названия полученных алгебр):

— наличие симметричных элементов (квазигруппа);

— наличие нейтрального и симметричных элементов (лупа);

— ассоциативность с нейтральным элементом (моноид);

— ассоциативность с нейтральным и симметричными элементами (группа или ассоциативная петля);

— коммутативность, ассоциативность с нейтральным и симметричными элементами (абелева группа) [1, 4].

Пусть дана полугруппа . Сформулируем теорему, которая обобщает закон ассоциативности. Суть этого обобщенного закона в том, что если рассмотреть композицию любой конечной последовательности элементов полугруппы, то скобки в выражении можно расставлять любым образом или вовсе их убрать, то есть, например, будет иметь место: и т. д.

Теорема: Пусть — полугруппа и — последовательность элементов из . Пусть , где , и , ,…, , тогда [4].

Таблица Кэли [1, 3] — это таблица, которая используется для описания структуры конечного группоида . Пусть , тогда таблица Кэли имеет следующий вид (таблица 1):

Где на пересечении-строки и -столбца находится элемент . При этом следует иметь ввиду, что в общем случае , так как свойство коммутативности бинарной операции группоида не требуется.

Таблицы Кэли впервые появились в статье Кэли «On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation » [5] в 1854 году. В этой статье это были просто таблицы, используемые в иллюстративных целях. Называть таблицами Кэли их стали позже в честь их создателя.

По таблице Кэли можно определить коммутативность, ассоциативность, идемпотентность бинарной операции и минимальное порождающее множество конечного группоида. А также нейтральный, обратимые, симметричные элементы и идемпотенты.

Приведем способ определения ассоциативности бинарной операции, используя тест ассоциативности по Лайту. Пусть дан конечный группоид и фиксированный элемент . Введем на две новые бинарные операции следующим образом: и , получим группоиды . Строим таблицы Кэли данных группоидов и сравниваем их соответствующие компоненты. Если , то повторяем это для другого элемента и т. д. И если для любого выполняется , то бинарная операция ассоциативна.

Прежде чем определять ассоциативность конечного группоида , желательно выяснить, имеет ли группоид минимальное порождающее множество. Если имеется порождающее множество , отличное от множества , то достаточно применить тест ассоциативности по Лайту к элементам множества , так как все остальные элементы из есть композиция элементов из .

Пусть дан группоид и . Структура данного группоида определяется следующей таблицей Кэли:

Таблица Кэли

Пусть $\mathbb A_=\left \< a_,a_,…,a_\right \>$ — конечное множество из $n$ элементов, с заданной на нем бинарной алгебраической операцией $*$ так, что каждой паре элементов из этого множества будет поставлен в соответствие элемент из того же множества.
Тогда таблица Кэли (была введена А.Кэли в 1854) будет выглядеть следующим образом:

Таблица Кэли позволяет определить свойства операции:

• Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то $*$ — коммутативна.
• Если $i$-ая строка повторяет верхнюю строку и $i$-ый столбец повторяет левый столбец, то $a_$ — нейтральный элемент.
• Если каждая строка и каждый столбец таблицы содержит нейтральный элемент, то для каждого элемента из $\mathbb A_$ существует симметричный.

Замечание. Также существует метод проверки ассоциативности БАО по таблице Кэли, но так как он очень громоздкий приводить мы его не будем.

Пример 1

Дано множество $\mathbb A=\left \.$ На этом множестве задана операция $*$ такая, что $ \forall \, a,b \in \mathbb A, a*b=\max(a,b).$ Построить таблицу Кэли и определить свойства операции:

Построим таблицу Кэли:

$\begin * & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 7 & 8\\ 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 8 \\ 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 \\ \end$

• Таблица симметрична относительно главной диагонали, значит операция $*$ — коммутативна.
• Первая строка совпадает с верхней строкой и первый столбец совпадает с левым столбцом, значит 1 — нейтральный элемент.
• Симметричный элемент существует только для 1.
• Можем сделать вывод, что $\left (\mathbb A,* \right )$ не является группой.

Пример 2

Дано множество преобразований правильного треугольника $\mathbb B=\left \,\varphi _,\varphi _,\varphi _,\varphi _,\varphi _ \right \>,$ переводящих треугольник в самого себя.
$\varphi _,\varphi _,\varphi _$ — повороты треугольника против часовой стрелки соответственно на углы $0, \frac<2\pi >,\frac<4\pi >$ вокруг точки $O.$
$\varphi _,\varphi _,\varphi _$ — симметрия относительно осей $m, l, p$

Построить таблицу Кэли и показать, что $\left (\mathbb B,\circ \right )$ — группа:

Каждое преобразование представим в виде подстановки:

$\varphi _=\beginA & B & C \\ A & B & C\end$ $\varphi _=\beginA & B & C \\ B & C & A\end$ $\varphi _=\beginA & B & C \\ C & A & B\end$ $\varphi _=\beginA & B & C \\ B & A & C\end$ $\varphi _=\beginA & B & C \\ C & B & A\end $ $\varphi _=\beginA & B & C \\ A & C & B\end$

Составим таблицу Кэли:

$\begin & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ \\ \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ \\ \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ \\ \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _\\ \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _\\ \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ \\ \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ & \varphi _ \\ \end$

• Таблица несимметрична относительно главной диагонали, значит операция композиции подстановок — некоммутативна.
• Первая строка совпадает с верхней строкой и первый столбец совпадает с левым столбцом, значит $\varphi _$- нейтральный элемент.
• Каждая строка и каждый столбец таблицы содержит нейтральный элемент, значит для каждого элемента из множества существует симметричный.
• Композиция подстановок — ассоциативна.
• Следовательно, $\left (\mathbb B,\circ \right )$ является группой.

Литература:

1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., Наука, 1977 г, с.166, 167
3. Курош А.Г. Теория групп. М., Наука, Физматлит, 1967 г, с.113

puuuk

Бинарная операция — это, по определению, отображение множества A ╢ A в множество A, при этом образ пары (x, y) обозначим, например, x © y, где © — символ операции. Здесь A — произвольное непустое множество и A ╢ A — множество всех упорядоченных пар (x, y) — таких, что x, y Î A (то есть, декартов квадрат множества A). Непустое множество A называется основным множеством операции.

Можно составить следующую иерархию множеств с бинарной операцией (разумеется, вместо © может быть вставлена любая — +, √, *, È , Ç , Å , Ä , Ñ , ° и т.д. и т.п. — в зависимости от необходимости и вкуса автора.

Группоид, обозначаемый символом (A, © ) — множество A, на котором задана некоторая бинарная операция, обозначаемая © . Если множество группоида конечно, то есть ╫ A ╫ = card (A) = n, то таблица Кэли операции группоида есть таблица n ╢ n, в которой элемент x © y Î A находится в клетке пересечения строки x и столбца y. Конечный группоид можно считать заданным, если выписана его таблица Кэли.

Задача об авторитетах

У Саши и Даши авторитет Даша.

У Саши и Маши авторитет Саша.

У Саши авторитет Саша.

У Даши и Маши авторитет Саша.

У Даши авторитет Даша.

У Маши авторитет Петя.

У Пети и Даши авторитет Петя.

У Пети и Маши авторитет Петя.

У Пети и Саши авторитет Саша.

У Пети авторитет Саша.

ТАБЛИЦА КЭЛИ ДЛЯ ОПЕРАЦИИ «АВТОРИТЕТ»

* Затенен операционный квадрат

ТАБЛИЦА КЭЛИ, КОРЕЙСКИЙ ВАРИАНТ

Квазигруппа (от латинского слова quasi — как будто, почти и слова группа) — группоид, бинарная операция которого (например, © ) такова, что каждое из уравнений a © x = b, y © a = b имеет единственное решение для любых элементов a, b этого множества. Квазигруппа — одно из обобщений понятия группа. Особенно близки к группам квазигруппы с единицей — лупы, определение которых получается из аксиом групп отбрасыванием требования ассоциативности. Квазигруппу можно рассматривать и как унивесальную алгебру с тремя бинарными операциями (дополнительно левое и правле деление).

Гомоморфный образ квазигруппы, вообще говоря, не квазигруппа, а группоид с делением. Гомоморфизмам квазигруппы на квазигруппе соответствуют конгруэнции специального типа (т.н. нормальные конгруэнции). Значительно большую роль, чем гомоморфизмы, в теории и классификации групп играют изотопии. Изотопия — отношение эквивалентности для бинарных операций на фиксированном множестве, определяемое с помощью трех подстановок этого множества. Оказывается, что всякий группоид, изотопный квазигруппе, — сам квазигруппа, а всякая квазигруппа изотопна некоторой лупе. Для групп понятие изотопии совпадает с понятием изоморфизма.

Таблица умножения конечной квазигруппы (ее таблица Кэли) в комбинаторике известна по названием латинский квадрат. Одна из задач комбинаторной теории квазигрупп — отыскание систем взаимно ортогональных квазигрупп на заданном множестве — важна для построения конечных проективных плоскостей.

Лупа, или квазигруппа с единицей, определение которой получается из аксиом группы отбрасыванием требования ассоциативности, особенно близка к группе.

Полугруппа — множество, с определенной на нем бинарной операцией, удовлетворяющей закону ассоциативности, т.е. группоид (A, © ), в котором для каждой тройки элементов a , b и с выполняется условие a © ( b © с) =(a © b) © с). Понятие полугруппы есть обобщение понятия группы: из аксиом группы остается лишь одна; этим объясняется и термин «полугруппа».

Теория полугрупп принадлежит к числу сравнительно молодых областей алгебры. Первые исследования, посвященные полугруппам, относятся к 20-м гг. 20 в. и связаны с именем А. К. Сушкевича. Он, в частности, определил строение конечной полугруппы без собственных идеалов. К концу 50-х гг. теория полугрупп сформировалась в самостоятельную ветвь современной алгебры с богатой проблематикой, разнообразными методами и тесными связями с многими областями математики — как собственно алгебраическими (в первую очередь, с теорией групп и теорией колец), так и другими, например, с функциональным анализом, дифференциальной геометрией, алгебраической теорией автоматов.

• Примеры полугрупп чрезвычайно многочисленны. Это, например:
• различные множества чисел вместе с операцией сложения или умножения, замкнутые относительно рассматриваемой операции (т.е. содержащие вместе с любыми двумя своими элементами их сумму или, соответственно, произведение);
• Полугруппа матриц относительно умножения;
• Полугруппа функций относительно «поточечного» умножения * , задаваемого формулой (f* g) (x) = f(x) g(x);
• Полугруппа матриц относительно операции пересечения или объединения;
• Один из простейших примеров полугруппы — множество всех натуральных чисел относительно сложения; эта полугруппа является частью (подполугруппой) группы целых чисел по сложению или, как говорят, вложима в группу целых чисел.

Далеко не всякая полугруппа вложима в какую-нибудь группу: необходимыи условием такой вложимости является закон сокращения — каждое из равенств ac = bc, ca = cb влечет за собой a = b; выполнение закона сокращения не достаточно для такой вложимости, но, например, коммутативная полугруппа с законом сокращения вложима в группу.

• Если на множестве F_X всех конечных последовательностей элементов произвольного множества (алфавита) X задать операцию * формулой

то F_X станет полугруппой; она называется свободной полугруппой над алфавитом X. Роль свободных полугрупп в общей теории определяется тем, что всякая полугруппа есть гомоморфный образ подходящей свободной полугруппы. Важную роль играют свободные полугруппы и в некоторых приложениях, прежде всего в теории формальных языков и кодов.

• Всякая совокупность пребразований произвольного множества M, замкнутая относительно операции композиции (последовательного выполнения), будет полугруппой относительно этой операции; такова, в частности, совокупность всех преобразований множества M, называемая симметрической полугруппой на множестве M. Многие важные совокупности преобразований оказываются полугруппами относительно композиции, причем часто они не являются группами. С другой стороны, всякая полугруппа изоморфна некоторой полугруппе преобразований. Все это определяет как роль полугрупп преобразований в общей теории полугрупп, так и роль теории полугрупп для изучения в самом общем виде преобразований с точки зрения их композиции. В большой степени через рассмотрение преобразований осуществляются связи теории полугрупп с другими областями математики.

Как и в других алгебраических теориях, одной из главных задач теории полугрупп является классификация всевозможных полугрупп, описание их строения. Это осуществляется прежде всего наложением на рассматриваемые полугруппы различых ограничений и выделение тем самым различных типов полугрупп. Среди важных типов — регулярные полугруппы, то есть полугруппы, в которых для любого элемента a существует такой элемент x, что axa = a. Регулярными являются, например, полугруппа всех матриц данного порядка над телом, симметрические полугруппы, полугруппы всех частичных преобразований множеств. Регулярные полугруппы принадлежат к числу наиболее активно изучаемых в теории полугрупп.

Заметную часть общей теории составляет теория представлений полугрупп преобразованиями и матрицами. Точка зрения теории представлений нередко проливает дополнительный свет на некоторые типы полугрупп, естественно определяемые с точки зрения аксиоматики. Внесение в полугруппы дополнительных структур, согласованных с полугрупповой операцией, выделяет особые разделы теории полугрупп, такие, как теория топологических полугрупп, теория упорядоченных полугрупп.

Моноид — это, по определению, полугруппа с единицей.

Группа (нем. Gruppe) — одно из основных понятий современной математики — есть лупа, являющаяся в то же время полугруппой.

Теория групп изучает в самой общей форме операции, наиболее часто встречающиеся в математике и ее приложениях (примеры таких операций — сложение чисел, умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т.п.). При этом теория групп изучает не совсем произвольные операции, а лишь те, которые обладают рядом основных войств, перечисляемых в определении группы.

Формальное определение группы таково. Пусть G — произвольное непустое множество, на котором задана бинарная алгебраическая операция ° , т.е. для любых двух элементов a, b, из G определен некоторый элемент (обозначаемый, например, a ° b) также из G. Если при этом выполняются условия: 1) (a ° b) ° c = a _° (b ° c) для любых a, b и c из G; 2) в G существует такой элемент e (называемый единицей, иногда — нейтральным элементом), что a ° e = e ° a = a для любого a из G; 3) для любого a из G существует такой элемент a √1 (обратный к a элемент), что a ° a √1 = a √1 ° a = e, то множество G с заданной на нем операцией ° назовем группой.

Примеры групп. 1) множество G различных движений эвклидовой плоскости, самосовмещающих данную фигуру, операцией на котором служит композиция движений (если j , y — два движения из G, то результатом их композиции назовем движение j ° _y , равносильное последовательному выполнению сначала движения j , а затем движения y ), образует т.н. группу симметрий фигуры. Единицей в этой группе будет тождественное преобразование плоскости, а обратным к j элементом — обратное к j преобразование. Группа G является характеристикой большей или меньшей симметричности фигуры: чем больше множество G, тем симметричнее фигура. Например, группа симметрий квадрата (рис., а) состоит из восьми движений

(четыре поворота вокруг центра квадрата и четыре отражения: два — относительно диагоналей и два — относительно прямых, соединяющих середины противоположных сторон). Для круга (рис. б) группа симметрий уже содержит бесконечно много элементов (например, все повороты вокруг центра), а для фигуры, нарисованной на рисунке (в) группа симмерий состоит из одного тождественного преобразования.

Если Z — множество всех целых чисел, а операция на Z — их обычное сложение + , то Z — группа. Роль e будет играть число 0, а роль обратного к z элемента — число √z. Часть H множества Z , состоящая из четных чисел, сама будет группой относительно той же операции. В таком случае говорят, что H — подгруппа группы Z . Обе групы Z и H удовлетворяют следующему дополнительному условию: 4) a + b = b + a для любых a и b из группы. Всякая группа, в которой выполняется условие 4) называется коммутативной или абелевой.

3) Множество всех подстановокn символов образует группу относительно умножения подстановок, называемую симметрической группой. При n ¨ 3 симметрическая группа неабелева. Порядок (число элементов) симметрической группы равен n!.