Докажите графически что напряженность поля между двумя бесконечными параллельными плоскостями

1.5. Применение теоремы Гаусса для расчетов напряженности электрического поля

может быть успешно использована как эффективный инструмент расчета напряженности и потенциала электрического поля некоторого распределения заряда, когда стоящий слева интеграл может быть превращен в произведение площади поверхности, по которой производится интегрирование, на величину нормальной к поверхности составляющей вектора , то есть когда

Вполне очевидно, что для расчета вектора этого будет достаточно, во-первых, когда вектор перпендикулярен поверхности. Следовательно, поверхность интегрирования должна быть эквипотенциальной поверхностью рассчитываемого поля. Её форму надо знать заранее. Наконец, во-вторых, во всех точках этой — эквипотенциальной — поверхности нормальная к ней составляющая должна иметь одну и ту же величину, в противном случае, её нельзя будет вынести из-под знака интеграла и будет возможно найти лишь среднее на эквипотенциальной поверхности значение . Подчеркнем, что из факта эквипотенциальности поверхности, а именно, из того, что

вовсе не вытекает, что и

в точках этой поверхности. Забегая вперед, укажем, что, например, поверхность заряженного проводника при условии равновесного распределения заряда на нем всегда эквипотенциальна, но, если это не шар, а тело сложной формы, то в окрестности выступов (острий) напряженность поля может быть на порядки больше, чем в окрестности впадин на поверхности. Требование постоянства — отдельное требование.

Из сказанного выше вытекает, что теорема Гаусса в состоянии быстро и просто привести к результату (вектору ) лишь в том случае, когда создающее поле распределение заряда обладает высокой степенью симметрии, соответственно, заранее известна форма эквипотенциальных поверхностей поля и есть уверенность в том, что на этих поверхностях. Если всё это имеет место, то решение выглядит следующим простым образом:

Сферическая симметрия

При сферически симметричном распределении заряда поле, создаваемое им, также сферически симметрично. Векторные (и скалярные) поля с такой симметрией принято также называть центральными полями. Центрально симметричное поле в общем случае можно записать в виде

Здесь — радиус-вектор, начинающийся в центре симметрии поля r — его модуль, — радиальная составляющая напряженности поля, зависящая только от расстояния до его центра симметрии. Потенциал такого поля зависит только от и

И, кроме того, как следует из , при произвольной нормировке потенциал поля имеет вид

Таким образом, условия применимости выполнены и мы можем воспользоваться этим соотношением.

Возьмем в качестве эквипотенциальную сферическую поверхность некоторого текущего радиуса r, её площадь . Виду предполагаемой непрерывности распределения заряда, для используем выражение:

где — объёмная плотность заряда. Опять-таки, учитывая сферическую симметрию распределения заряда — зависит только от , в качестве элемента объёма естественно взять бесконечно тонкий сферический слой с внутренним радиусом и внешним радиусом . Объём такого слоя , в результате получаем

Окончательно, для любого сферически симметричного распределения заряда, когда , получаем

Продолжение вычислений требует конкретизации вида зависимости плотности заряда от модуля радиус-вектора .

Поле однородно по объёму заряженного шара

Равномерное по объёму шара радиуса распределение заряда (рис. 1.41) означает, что его плотность заряда имеет вид

Рис. 1.41. Силовые линии электрического поля однородно заряженного шара

Не следует забывать, что по условию вне шара зарядов нет.

Поскольку в точке плотность заряда меняется скачком: предел «слева» отличен от нуля , а предел «справа» равен нулю , вычисление придется проводить в два этапа: сначала для сферической поверхности радиуса (она лежит внутри шара), а потом для сферической поверхности радиуса (она охватывает шар). В первом случае

растет линейно с ростом расстояния до центра шара, что объясняется просто: площадь поверхности , а заряд внутри неё

Во втором случае интеграл «обрезается сверху» при :

В последнем выражении учтено, что , где — полный заряд шара. Таким образом, вне шара его поле есть поле точечного заряда равного полному заряду шара и помещенного в центр этого шара:

Оба выражения можно объединить в одну формулу. Если использовать полный заряд шара , получим:

Если вместо полного заряда шара использовать в качестве параметр плотность заряда , эти формулы приобретут следующий вид (рис. 1.42):

Рис. 1.42. Распределение напряженности электрического поля однородно заряженного шара

Формулы и выражают одну и ту же зависимость, их удобство определяется тем, какие параметры заданы: или . Из этих формул наглядно видно, что на поверхности шара напряженность поля непрерывна, то есть не имеет разрыва. Это обусловлено тем, что в данном случае разрыв плотности заряда на поверхности шара первого рода — конечной величины: с на нуль. Поэтому, как в , так и в в верхней и в нижней формулах поставлены знаки нестрогих неравенств. В каких случаях напряженность поля может терпеть разрыв, будет ясно из следующего примера.

Потенциал поля легко найти, подставив, например, из в и выполнив интегрирование. Получаем:

где и — постоянные интегрирования, которые находятся из следующих соображений. Константа определяется из условия нормировки, например, на нуль на бесконечности

Откуда . Константа определяется из условия непрерывности потенциала на поверхности шара, то есть при :

Отметим, что требование непрерывности потенциала нередко называют «сшивкой» двух решений на границе раздела. В данном случае это граница раздела двух областей: областью, где есть заряд (внутри шара), и областью, где его нет (вне шара). Уже сейчас можно отметить, что потенциал непрерывен во всех случаях, кроме одного: так называемого «двойного слоя». Представьте поверхность, по одной стороне которой с плотностью распределен положительный заряд, а по другой стороне которой с плотностью распределен отрицательный заряд. Такая поверхность и называется двойным слоем, на этой поверхности потенциал терпит разрыв. Такую (плоскую) поверхность можно получить, неограниченно сближая две обкладки плоского конденсатора. То же самое можно проделать для конденсатора любой формы, например, сферического или цилиндрического. Во всех остальных случаях потенциал непрерывен.

Подставляя полученные значения констант интегрирования в , запишем окончательный результат в виде

При такой нормировке потенциал в центре шара отличен от нуля и равен

Полученные результаты иллюстрирует приведенный ниже рисунок 1.43.

Рис. 1.43. Напряженность (1) и потенциал (2) электрического поля равномерно заряженного шара радиусом R в единицах напряженности и потенциала на его поверхности (r = R)

Поле равномерно заряженной сферической поверхности

В данном случае равномерного распределения заряда по сферической поверхности, как и в предыдущем, имеет место сферическая симметрия, поэтому общие формулы, полученные выше, применимы и здесь. Однако относиться к ним необходимо с известной осторожностью по следующей причине. Входящая в правую часть объемная плотность заряда ведет себя в данном случае следующим интересным образом:

Рис. 1.44. Напряженность электрического поля равномерно заряженной сферы

Действительно, заряд имеется только на поверхности, то есть при , всюду внутри, то есть при и всюду снаружи, то есть при зарядов нет. То, что объемная плотность заряда в точках поверхности обращается в бесконечность (+∞ в случае положительного заряда и –∞ в случае отрицательного) можно показать следующим образом. На рисунке рядом изо­бражен участок некоторой поверхности, по которой с поверхностной плотностью распределен заряд. Для определения величины объёмной плотности заряда в некоторой точке поверхности рассмотрим цилиндр (рис. 1.45), верхнее основание которого находится над поверхностью, а нижнее — под поверхностью. Площадь оснований цилиндра равна , высота — , объём . Заряд внутри цилиндра , объёмная плотность заряда по определению равна пределу отношения заряда, находящегося внутри некоторого объема, к величине этого объема при стремлении последнего к нулю (со всеми оговорками относительно объёма «физически бесконечно малого»). Получаем

Рис. 1.45. Плотность заряда на поверхности

Важно, что плотность на поверхности равна бесконечности. Функции такого рода (везде, кроме одной точки — нуль, а в этой единственной точке — бесконечность) относятся к классу так называемых обобщенных функций, называются функциями Дирака в честь физика Дирака, впервые введшего в обиход физики такую функцию для удовлетворения нужд квантовой механики. Мы не будем здесь подробно исследовать и использовать в расчетах такого рода функции. Наша цель показать, что рассмотрение формально бесконечно тонких заряженных поверхностей приводит к появлению у объёмной плотности заряда разрывов (бесконечных), что, в свою очередь, порождает бесконечные разрывы на такой заряженной поверхности у напряженности электрического поля. Подчеркнем, что потенциал поля при этом остается непрерывным.

Выход из положения прост. При всех используем первую из формул с , получаем, что всюду внутри однородно заряженной сферической оболочки поле отсутствует: . При всех справедлива вторая формула из . Как и в случае однородно по объёму заряженного шара, вне однородно заряженной сферической оболочки, её поле есть поле точечного заряда, помещенного в центр этой оболочки и равного её полному заряду. В данном случае, разумеется .

Окончательный результат такой:

На самой сферической поверхности напряженность поля в этом случае терпит разрыв. Зависимость радиальной компоненты поля от расстояния до центра сферической поверхности показана на рис. 1.46.

Рис. 1.46. Зависимость поля от расстояния до центра сферической оболочки

Зависимость потенциала от расстояния до центра сферической оболочки можно получить, интегрируя . При нормировке на нуль на бесконечности результат выглядит следующим образом:

Зависимость показана на рис. 1.47.

Рис. 1.47. Потенциал равномерно заряженной сферы

Однородное (равномерное) распределение заряда по бесконечно длинной цилиндрической поверхности (рис. 1.48) обладает цилиндрической, трансляционной и зеркальной симметрией. Это означает следующее. При повороте такого распределения заряда вокруг оси цилиндрической поверхности на любой угол оно совпадает само с собой. При сдвиге (переносе, трансляции) такого распределения заряда на любое расстояние вдоль оси симметрии оно также совпадает само с собой. И, наконец, если через любую точку на оси симметрии провести плоскость перпендикулярную к оси, и отразить в этой плоскости как в зеркале «верхнюю» часть распределения заряда, то отражение «верхней» части совпадет с «нижней» и наоборот, отражение «нижней» совпадет с «верхней». Другими словами, это распределение заряда инвариантно относительно указанных преобразований. Следовательно, и создаваемое этим распределением заряда электрическое поле должно быть инвариантно (совпадать само с собой) при указанных преобразованиях.

Рис. 1.48. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность

Введем цилиндрическую систему координат: ось направим по оси симметрии, — расстояние до оси симметрии, — азимутальный угол, угол поворота вокруг оси симметрии, — по-прежнему потенциал поля.

Из свойств симметрии вытекает, что потенциал поля не может зависеть ни от координаты — нарушится трансляционная симметрия, ни от координаты — нарушится осевая (цилиндрическая) симметрия. Остается только зависимость от — расстояния до оси цилиндра. Таким образом:

вектор напряженности электрического поля направлен по радиальным прямым, перпендикулярным оси симметрии (рис. 1.49), и его величина зависит только от расстояния до оси. Потенциальные поверхности представляют собой цилиндры соосные с заряженной цилиндрической поверхностью.

Рис. 1.49. Вектор напряженности электрического поля направлен по радиальным прямым

Используя эти обстоятельства, будем интегрировать в левой части теоремы Гаусса по замкнутой поверхности цилиндра с радиусом основания и высотой , соосного с рассматриваемой, заряженной цилиндрической поверхностью радиуса . Поток через основания цилиндра равен нулю ввиду того, что на основаниях , а поток через его боковую поверхность равен произведению на её площадь: . Соответственно, суммарный (через всю замкнутую поверхность рассматриваемого цилиндра) поток вектора равен

При , находящийся внутри цилиндра заряд, равен

где — линейная плотность заряда численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины цилиндрической поверхности. Согласно теореме Гаусса

откуда для получаем

При внутри цилиндра, через поверхность которого вычисляется поток вектора , зарядов нет, и потому поле равно нулю. Объединяя эти два результата, получаем окончательно (рис. 1.50):

Ввиду поверхностного характера распределения заряда (см. подробнее предыдущий расчёт) на самой заряженной поверхности, то есть при радиальная компонента поля терпит разрыв.

Рис. 1.50. Напряженность электрического поля равномерно заряженной цилиндрической поверхности

Интегрирование (1.51) (см. также (1.49)), требование непрерывности потенциала при , и нормировка , приводят к следующей зависимости потенциала от расстояния до оси цилиндрической поверхности:

В данном случае, когда бесконечно большой по модулю заряд распределен по бесконечно длинному цилиндру, относится к тем случаям, когда нормировка на нуль на бесконечности лишена смысла. Как видно из (1.52), зависимость потенциала от расстояния до оси логарифмическая, нормировка на нуль на бесконечности, на языке формул (1.52), означает, что , но, тогда потенциал будет бесконечно большим по модулю на любом конечном расстоянии от оси заряженной поверхности, что лишено смысла. Выбор того конечного расстояния от оси симметрии, на котором удобно потенциал считать равным нулю трудностей не вызывает и обусловлен спецификой задачи. Например, ничто не мешает положить , тогда потенциал всюду внутри и на самой заряженной поверхности будет равен нулю.

Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Пусть поверхностная плотность заряда равна . Такое распределение заряда по бесконечной плоскости характеризуется тем, что его вид не зависит от: а) поворота на любой угол вокруг любой оси перпендикулярной плоскости, б) сдвига на любое расстояние вдоль прямой лежащей в плоскости и любого направления. Наконец, в) отражение данного распределения заряда в зеркале, совпадающем с самой плоскостью, оставит его неизменным.

Из анализа симметрии достаточно очевидно, что потенциал в любой точке вне плоскости может зависеть только от расстояния от этой точки до плоскости. Направим ось декартовой системы координат перпендикулярно плоскости, а оси и пусть принадлежат самой плоскости, тогда

Причем, в силу зеркальной симметрии, поле «перед» плоскостью отличается от поля «за» плоскостью только направлением вектора . Это означает, что зависимость от должна быть нечетной, а зависимость потенциала от должна быть четной.

В силу этих соображений возьмём замкнутую поверхность — ту, для которой будем писать теорему Гаусса, — следующего вида (рис 1.51).

Рис. 1.51. Электрическое поле заряженной плоскости

Это цилиндр с боковой поверхностью перпендикулярной плоскости и с основаниями параллельными плоскости. Высота цилиндра , площадь оснований . Учитывая нечетность зависимости , основания цилиндра удобно расположить на одинаковом расстоянии от плоскости, тогда вклад оснований в поток будет одинаков. Напряженность поля на основаниях, во-первых, им перпендикулярна, во-вторых, сонаправлена с внешней нормалью, в-третьих, она одинакова во всех их точках по абсолютной величине

Вклад в поток вектора от боковой поверхности равен нулю, так как на боковой поверхности .

Поэтому полный поток через всю замкнутую цилиндрическую поверхность равен

Внутри рассматриваемой цилиндрической поверхности находится заряд

где — плотность заряда на плоскости. По теореме Гаусса

следовательно, модуль напряженности поля заряженной плоскости равен

Подчеркнём, что результат очевидным образом не зависит от того, на каком расстоянии от плоскости расположены основания рассмотренного цилиндра. Отсюда следует, что с каждой стороны от плоскости создаваемое ею электрическое поле однородно.

Используя введенную ранее ось перпендикулярную заряженной плоскости, поле с обеих сторон от плоскости можно описать одной формулой, пригодной при любом знаке заряда на плоскости

Интегрируя с учетом

для зависимости от потенциала поля плоскости нетрудно получить:

Потенциал в нормирован условием . Здесь, как и в примере с бесконечно длинной заряженной цилиндрической поверхностью, потенциал растет при удалении на бесконечность, поэтому нормировка на нуль на бесконечности лишена смысла.

Силовые линии поля заряженной плоскости показаны на рис. 1.52 и 1.53.

Рис. 1.52. Поле положительно заряженной плоскости

Рис. 1.53. Поле отрицательно заряженной плоскости

Поле плоского конденсатора

Определим напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными однородно и разноименно. Плотности заряда на плоскостях по модулю одинаковы и равны, соответственно: и (идеальный плоский конденсатор). С помощью рис. 1.54 нетрудно сообразить, что в зазоре между плоскостями, создаваемые ими поля направлены в одну сторону, поэтому внутри суммарное поле в два раза больше поля от каждой из плоскостей. Снаружи от плоскостей создаваемые ими поля направлены в противоположные стороны, соответственно, суммарное поле от обеих плоскостей равно нулю (рис. 1.55).

Рис. 1.54. Электрическое поле плоского конденсатора

Рис. 1.55. Электрическое поле разноименно заряженных плоскостей

Рис. 1.56. Напряженность электрического поля разноименно заряженных плоскостей

В Дополнении 6 разобран пример с движением заряженной частицы в постоянном электрическом поле.

Потенциал поля заряженного диска

Как уже не раз отмечалось, зная потенциал поля точечного заряда и используя принцип суперпозиции, в принципе всегда, можно вычислить потенциал поля, создаваемого любым распределением зарядов.

Найдем для примера потенциал электрического поля, создаваемого на оси тонкого диска радиуса R, равномерно заряженного с поверхностной плотностью заряда (рис. 1.57). В силу осевой симметрии в точках на оси две перпендикулярных к оси составляющих напряженности поля равны нулю: , остается найти — составляющую поля, направленную вдоль оси.

Рис. 1.57. Вычисление потенциала на оси заряженного диска

Выделим на диске кольцо радиусом s и шириной ds (заштриховано на рис. 1.57). Площадь кольца равна и потому на нем сосредоточен заряд

Поскольку все элементы кольца находятся на одинаковом расстоянии

от точки наблюдения А, то потенциал , создаваемый кольцом в точке А, дается все той же формулой с заменой в ней на :

Полный же потенциал поля, создаваемый всем диском в точке A, равен сумме потенциалов от всех возможных колец с радиусами s, где 0 < s < R

При больших расстояниях от центра диска квадратный корень можно разложить в ряд, ограничившись первыми двумя членами разложения

тогда формула упрощается и, как и должно быть, превращается в формулу для потенциала точечного заряда

где — полный заряд диска

Используя связь напряженности поля с потенциалом , можно найти напряженность поля на оси диска

Закон Кулона и размерность пространства

Пространство, в котором мы живем, имеет три измерения. Иными словами, нужны три координаты (например, в декартовой или в сферической системах) для задания положения точки А (рис. 1.58). Оказывается, число 3 тесно связано с формой закона Кулона. Мы видели, что теорема Остроградского — Гаусса следует из закона Кулона. Верно и обратное, закон Кулона можно вывести из теоремы Остроградского — Гаусса. Но эта теорема носит более общий характер, чем закон Кулона. В частности, она применима к пространствам с размерностью , где не обязательно должно быть равно трем.

Рис. 1.58. Декартовая и сферическая системы координат

В самом деле, теорема в сущности утверждает, что силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах или уходят в бесконечность. Размерность пространства не играет здесь роли. Поэтому давайте пред­положим, что мы живем в пространстве с какой-то размерностью и посмотрим, какой будет физика в этом странном мире. Возьмем точечный заряд и мысленно окружим его сферой радиусом Прежде чем продолжать знакомство с мерной физикой, условимся о терминологии.

Объем сферы будет измеряться в единицах подобно тому, как в нашем мире мы измеряем объем в . Так, в двумерном пространстве роль объема играет наша площадь. Действительно, сфера — это геометрическое место точек пространства, равноудаленных от центра. Согласно этому определению, двумерная сфера — это окружность радиусом двумерные существа считали бы ее объемом то, что мы воспринимаем как площадь круга В этом параграфе мы будем называть объемом сферы в мерном пространстве ту величину, которая пропорцио­нальна Аналогично, площадь поверхности мерной сферы пропор­циональна В двумерном пространстве это — длина окружности и именно ее двумерные существа воспринимали бы как площадь поверхности. С другой стороны, площадь поверхности в четырехмерном мире — это наши трехмерные объемы.

Итак, площадь сферы в мерном мире пропорциональна (коэффициент пропорциональности сейчас нам не важен). Поток вектора на­пряженности электрического поля в таком мире пропорционален и должен быть пропорционален также величине электрического заряда внутри сферы (теорема Остроградского — Гаусса). Отсюда получаем, что

где — некий коэффициент пропорциональности. Аналогичное выражение справедливо для гравитационного поля в мерном мире.

При получаем отсюда закон обратных квадратов (закон Кулона). При находим На самом деле мы уже знакомы с таким поведением электрического поля. Именно такой закон (10.17) мы вывели для поля бесконечного заряженного цилиндра. Если как сле­дует подумать и вспомнить расположение силовых линий цилиндра, то станет ясно, что ничего не зависит от координаты вдоль оси цилиндра. Таким образом, эта система имитирует электрическое поле в двумерном мире. Теперь легче понять, что заряженная плоскость имитирует точечный заряд в одномерном мире: все зависит только от одной координаты — расстояния до плоскости. Но мы нашли выше, что электрическое поле от этого расстояния не зависит. И из формулы (10.49) при также следует, что напряженность то есть постоянна. В четырехмерном же мире закон Кулона принял бы форму Таким образом, закон обратных квадратов является прямым следствием трехмерности нашего мира.

Из выражения (10.49) следует поведение потенциала в мерном мире:

Эти формулы являются следствием того, что дифференцирование потенциала (операция grad) должно дать выражение для напряженности электрического поля.

Отсюда следуют любопытные выводы. Поскольку в одно- и двумер­ном мирах потенциалы растут на бесконечности, нужна бесконечно большая работа, чтобы развести два притягивающихся заряда. Это означает, что в мирах малой размерности возможно лишь финитное движение двух притягивающихся тел (зарядов, масс). Напомним, что финитным назы­вается движение в ограниченной области пространства. Поэтому в мирах с нельзя ионизировать атом, нельзя запустить спутник за пределы Солнечной системы и т. п. В таком мире не было бы химических реакций, не могли бы эволюционировать галактики и звезды. Словом, жизнь там была бы застойно скучна.

Можно было бы ожидать более приятного времяпрепровождения в многомерных мирах. Увы, и это оказывается иллюзией. Исследование уравнения движения

приводит к выводу, что при в сущности отсутствует финитное движение: оно реализуется только для круговых орбит, да и то является неустойчивым — малейшее возмущение приводит к падению электрона (планеты) на притягивающий центр или его (ее) убеганию на бесконечно большое расстояние. Выходит, в таком мире атомы, планетные системы и все остальное вообще не могло бы образоваться. Никакой стабильности в мирах высшей размерности — вот альтернатива «застойным» мало­мерным мирам. Только при возможно как устойчивое финитное, так и инфинитное движения. Получается, что трехмерное пространство — единственно удобная форма существования и движения материи, по крайней мере, известных нам ее видов, которые мы изучаем в физике.

Дополнительная информация

Напряженность электростатического поля

где — сила, действующая на точечный положительный заряд , помещенный в данную точку поля; — потенциальная энергия этого заряда.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой зарядов (принцип суперпозиции электростатических полей)

где — напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого -м зарядом.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом

где — расстояние от заряда до точки поля, в которой определяется напряженность и потенциал.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей (металлической) заряженной сферой радиусомна расстоянии от центра сферы:

где — заряд сферы.

Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью или бесконечно длинным цилиндром (вне цилиндра),

где — линейная плотность заряда; — расстояние от нити или от оси цилиндра до точки, в которой вычисляется напряженность электростатического поля (внутри цилиндра ).

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

где — поверхностная плотность заряда.

Связь потенциала и напряженности электростатического поля:

• а) в общем случае
• б) в случае радиальной или сферической симметрии электростатического поля

в) в случае однородного поля

где — расстояние между точками с потенциалами и

Графическое изображение электростатических полей.

Электростатические поля принято изображать при помощи силовых линий вектора напряженности.

• — вектор напряженности направлен по касательной к силовой линии;
• — стрелка на силовой линии указывает направление действия поля на положительный заряд;
• — силовые линии начинаются и заканчиваются на электростатических зарядах (или в бесконечности);
• — густота силовых линий прямо пропорциональна модулю вектора напряженности .

Поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность (теорема Остроградского — Гаусса)

где — суммарный электрический заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности .

где — потенциал уединенного проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); — разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора

где — площадь одной пластины конденсатора; — расстояние между пластинами; — диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами.

Электроемкость сферического конденсатора

где и — радиусы двух концентрических сфер; — диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между сферами.

Электроемкость цилиндрического конденсатора

где и — радиусы двух коаксиальных цилиндров; — высота цилиндров; — диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между цилиндрами.

Задание 1.

Рассчитать напряженность и потенциал электростатического поля равномерно заряженный сферической поверхности для точек внутри сферы, на ее поверхности и вне сферы на заданных расстояниях от ее центра.

Построить графики зависимостей напряженности и потенциала от расстояния от центра сферы для обеих сред.

С помощью силовых линий вектора напряженности графически изобразить электростатическое поле равномерно заряженной сферы и доказать, что аналитическое представление электростатического поля совпадает с графическим.

Выведем формулу напряжённости поля для точек, расположенных внутри сферы и вне нее на расстояниях r от ее центра.

1. Для точки, которая лежит внутри сферы, рассмотрим применение теоремы Гаусса для сферы с радиусом :

По сколько в сферу радиуса r не попадает заряд, так как он по условию задачи распределён на поверхности сферы радиуса R, то: .

2. Для точки, лежащей на поверхности сферы (r=R):

3. Для точки, которая лежит вне сферы (r>R):

Выведем формулу потенциала поля для точек, расположенных внутри сферы и вне нее на расстояниях r от ее центра

Для точки, лежащей вне сферы (r>R):

Поле вне сферы (r>R) совпадает с полем точечного заряда, поэтому в этой области потенциалы сферы и точечного заряда также совпадают.

Расчёт напряжённости и потенциала проведём для двух случаев:

Аналогично проведем расчёты для других значений расстояния r и занесём их в таблицу:

Аналогично проведем расчёты для других значений расстояния r и занесём их в таблицу:

Построим графики зависимостей напряженности и потенциала электрического поля от расстояния до центра сферы r для обоих случаев.

График зависимости напряжённости электрического поля E(r) от расстояния r до центра сферы в случае, когда сферы находятся в средах с диэлектрической проницаемостью (1 = 1) и (2 = 5,00):

График зависимости потенциала ц(r) от расстояния r до центра сферы для двух сред:

Построили графики зависимостей напряженности и потенциала электрического поля от расстояния r до центра сферы для обоих случаев. Зависимость E(r) и ц(r) от обратно пропорциональная, потому чем больше диэлектрическая проницаемость, тем меньше напряжённость электрического поля и его потенциал.

Эскиз нашего рисунка имеет такой вид, где стрелками обозначены силовые линии, которые выходят из шара. В действительности их гораздо больше. Они все направлены по линии радиуса шара и соответственно чем дальше от источника тем напряжённость меньше. Это просто объяснить, т.к. вблизи шара плотность силовых линии больше, чем на дальних расстояниях.

Выводы по заданию: Рассчитала напряженность и потенциал электростатического поля равномерно заряженный сферической поверхности, построила графики зависимостей напряженности и потенциала электрического поля от расстояния r до центра сферы для обоих случаев. Зависимость E(r) и ц(r) от обратно пропорциональная, потому чем больше диэлектрическая проницаемость, тем меньше напряжённость электрического поля и его потенциал, с помощью силовых линий вектора напряженности графически изобразила электростатическое поле равномерно заряженной сферы.

Задание 2.

Шар радиусом равномерно заряжен с объемной плотностью . Используя теорему Остроградского — Гаусса, вывести формулу зависимости напряженности электрического поля от расстояния r от центра шара для случая, когда

Построить график зависимости для случая, когда

Определить разность потенциалов между двумя точками, лежащими внутри шара на расстояниях и от его центра.

Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.

Объемно заряженный шар при r>R ведёт себя так же, как и сфера, и для него справедливы выражения:

При r > R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда.

И так напряженность поля внутри шара

Рассчитаем теперь потенциал внутри шара. Так как , то тогда:

Построим график зависимости для случая, когда , используя таблицу

Разность потенциалов между точками на расстоянии r1 и r2 рассчитаем, пользуясь формулой (2):

— разность потенциалов между точками на расстоянии r1 и r2

Вывод по заданию: Вывела формулу зависимости напряженности электрического поля от расстояния r от центра шара для случая, когда Построила график зависимости для случая, когда График имеет линейную зависимость, определила разность потенциалов между двумя точками. электростатический поле заряд конденсатор

Задание 3. Две коаксиальные цилиндрические поверхности (цилиндрический конденсатор) заряжены разноименно с одинаковой линейной плотностью.

Рассчитать напряженность электрического поля на расстояниях от оси цилиндров.

Построить графики зависимости напряженности электрического поля от расстояния от оси цилиндров, если пространство между цилиндрами заполнено: а) воздухом, б) диэлектриком.

Решение:

Для расчёта напряжённости поля в произвольной точке, находящейся на расстоянии r от оси цилиндра, проведём через эту точку цилиндрическую поверхность. Радиус этого цилиндра равен r, а его высота h.

Потоки вектора напряжённости через верхнее и нижнее основания цилиндра будут равны нулю, так как силовые линии не имеют составляющих, нормальных к поверхностям этих оснований. Во всех точках боковой поверхности цилиндра Е = const.

Следовательно, полный поток вектора E через поверхность цилиндра будет равен

. По теореме Гаусса, поток вектора E равен алгебраической сумме электрических зарядов, находящихся внутри поверхности (в данном случае цилиндра) делённой на произведение электрической постоянной е0 и относительной диэлектрической проницаемости среды е. И так:

где заряд той части воображаемого цилиндра, которая находится внутри цилиндрического конденсатора.

Отсюда напряжённость электрического поля

Аналогичные расчёты проведём для остальных значений r и запишем их в таблице:

Построим график зависимости напряжённости электрического поля Е от расстояния r от оси цилиндров, если пространство между цилиндрами заполнено воздухом, в первом случае, и диэлектриком, во втором:

Вывод по заданию: Были рассчитаны значения напряженности электрического поля на расстояниях от оси цилиндров, а так же построен график зависимости напряженности электрического поля от расстояния от оси цилиндров. Мы наглядно можем увидеть что, напряженность где пространство между цилиндрами заполнено воздухом больше чем, напряженность ,где пространство между цилиндрами заполнено диэлектриком.

Задание 4. Электростатическое поле создано двумя бесконечными параллельными плоскостями (пластинами), равномерно заряженными с поверхностными плотностями заряда и . Расстояние между плоскостями равно .

Найти разность потенциалов между пластинами.

Определить напряжённость электростатического поля между пластинами и вне пластин. Построить график изменения напряжённости электростатического поля.

Решение:

Напряженность равномерно заряженной плоскости рассчитывается по формуле

т.к. про диэлектрик ничего не сказано примем е=1(для воздуха).

Такая плоскость образует однородное поле, линии напряженности которой представляют собой прямые, перпендикулярные плоскости и направленные от плоскости, если заряд положительный.Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля равна геометрической сумме напряженностей полей:

Напряженность равномерно заряженной плоскости рассчитывается по формуле

т.к. про диэлектрик ничего не сказано примем е=1(для воздуха);

Такая плоскость образует однородное поле, линии напряженности которой представляют собой прямые, перпендикулярные плоскости и направленные от плоскости, если заряд положительный.

Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля равна геометрической сумме напряженностей полей:

Разность потенциалов между пластинами

График изменения напряжённости электростатического поля вдоль линий, перпендикулярной пластинам:

Вывод по заданию: Найдена разность потенциалов между пластинами, равная , Определила напряжённость электростатического поля построила график изменения напряжённости электростатического поля вдоль линии, перпендикулярной пластинам.

В результате выполнения расчетно-графической работы:

• 1) Провела самостоятельный поиск необходимой информации с использованием различных источников (учебных, справочных и научно-популярных изданий, ресурсов интернета)
• 2)На практике более подробно ознакомилась с такими понятиями и научилась вычислять такие физические величины как напряженность, потенциал, заряд, разность потенциалов электростатического поля.
• 3)Выполнила сравнительную оценку и сделала выводы по результатам работы
• 4)Использовала в решениях и представлении результатов (в виде графиков) основные программные средства.

1.7.2. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Пусть имеется бесконечная равномерно заряженная плоскость. Поверхностная плотность заряда равна . Из симметрии системы следует, что поле должно быть симметричным относительно плоскости (это можно доказать примерно так же, как в предыдущем примере). Следовательно, вектор Е везде перпендикулярен плоскости и в одинаково удалённых от плоскости точках модули вектора Е одинаковы. В этом случае в качестве поверхности интегрирования целесообразно выбрать цилиндр, ориентированный так, как показано на рисунке. Поток вектора Е и здесь складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и потока через торцы цилиндра: Ф = Ф_бок + 2Ф_торц. Поток вектора напряжённости через боковую поверхность равен нулю, так как в силу симметрии поля вектор напряжённости дол-жен быть параллелен боковой поверхности и . Поток вектора напряжённости через торцевые поверхности , гдеr – радиус основания цилиндра. Полный поток через оба торца цилиндра Ф = 2Еr 2 . Суммарный заряд, охваченный поверхностью цилиндра, равен . Отсюда и. Полученное выражение показывает, что напряжённость поля, созданного бесконечной равномерно заряженной плоскостью, прямо пропорциональна поверхностной плотности заряда и не зависит от расстояния. Обратите внимание: в этом случае напряжённость элект-рического поля на любых расстояниях от плоскости одинакова!

1.7.3. Поле двух параллельных равномерно заряженных плоскостей с одинаковым по величине и противоположным по знаку зарядом

Пусть имеются две параллельные плоскости, заряды которых одинаковы по величине и противоположны по знаку. Поверх-ностные плоскости зарядов соответственно равны  и -. Напряжённость поля, созданного двумя плоскостями, в соответствии с принципом суперпозиции может быть найдена как векторная сумма напряжённостей, созданных каждой плоскостью в отдельности, Е = Е₁ + Е₂. Напряжённости полей, созданных каждой из плоскостей, во всех точках пространства одинаковы по величине и противоположны по направ-лению (так как заряды плоскостей одинаковы по величине и противопо-ложны по знаку). Это означает, что напря-жённость поля между плас-тинами равна удвоенной напряжённости поля, созданного одной пласти-ной, . Напряжённость поля вне пластин равна нулю.

1.7.4. Поле равномерно заряженной сферы

Пусть имеется сфера радиуса r_о, по которой равномерно распределён заряд q. Из симметрии системы следует, что поле должно быть сим-метрично относительно центра заряженной сферы. Следова-тельно, вектор Е во всех точках пространства направлен параллельно радиальным прямым и на равных расстояниях от центра сферы модули Е одинаковы. В этом случае в качестве поверхности интегрирования целесообразно выбрать сферическую поверхность, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Пусть радиус сферической поверхности меньше, чем радиус заряженной сферы. В этом случае суммарный заряд, охваченный поверхностью, равен нулю (так как внутри сферы зарядов нет, все заряды расположены на её поверхности). Это означает, что внутри заряженной сферы поток вектора напряжённости через поверхность, радиус которой r_o>r>0, равен нулю. Площадь поверхности отлична от нуля, поэтому поток может быть равен нулю лишь в том случае, если напряжённость поля внутри сферы равна нулю. Следовательно, напряжённость электрического поля внутри заряженной сферы равна нулю Е(r_o  r > 0) = 0. Пусть радиус поверхности интегрирования больше радиуса заряженной сферы. В этом случае суммарный заряд, охваченный поверхностью, равен заряду сферы q. Если единичный вектор n направлен наружу от поверхности, то угол между n и Е во всех точках равен нулю (или 180 о , если заряд сферы отрицательный). Отсюда следует, что. Поскольку модуль вектора Е во всех точках выбранной поверхности одина-ков и площадь сферы равна , по-стольку поток вектора напряжённости электрического поля . В соответствием с теоремой Гаусса поток вектора Е пропорционален сумме зарядов, охваченных поверхностью: . Следовательно, напряжённость электрического поля, создан-ного заряженной сферой снаружи от неё, равна . Обратите внимание на то, что поле вне заряженной сферы совпадает с полем точечного заряда q (см. разд. 1.3).

Докажите графически что напряженность поля между двумя бесконечными параллельными плоскостями

В XIX веке английский учёный Майкл Фарадей выдвинул гипотезу, что электрическое и магнитное взаимодействия осуществляются посредством особой среды между ними, поля. Любой заряд `q` изменяет свойства пространства вокруг себя – создаёт вокруг себя поле, а уже это поле действует на другие заряды. Развитие науки и техники показало чрезвычайную плодотворность концепции поля. Вся теория электромагнитных явлений со всеми её приложениями существенным образом основывается на концепции поля. По мнению Эйнштейна, идея поля была самым важным открытием со времён Ньютона.

Идея электрического поля большинству людей кажется некоей абстрактной теоретической концепцией, поскольку электрическое поле (в отличие от поля магнитов) в обыденной жизни, в быту невозможно «почувствовать рукой». К вопросу о том, почему это так, мы вернёмся позже. Пока же обратимся к количественному описанию электростатического поля.

Если в поле точечного заряда `q` поместить на расстоянии `r` пробный точечный заряд `q_1`, то на этот заряд будет действовать сила `|vecF_1|=1/(4pi epsilon_0) (|q||q_1|)/(r^2)`. Если в ту же точку поместить другой пробный заряд `q_2`, то на него заряд со стороны заряда `q` будет действовать другая сила `|vecF_2|=1/(4pi epsilon_0) (|q||q_2|)/(r^2)`. Существенно, однако, что отношение силы, действующей на пробный заряд, к его заряду, `(vecF_1)/(q_1)=(vecF_2)/(q_2)`, останется одним и тем же и будет характеристикой не пробных зарядов, но исходного заряда `q` и местоположения `vecr` точки `A`, в которую мы помещали пробные заряды (см. рис. 1). Эта характеристика называется напряжённостью электрического поля точечного заряда `q` в точке `A`. Напряжённость поля есть векторная величина. Её модуль равен

`|vecE|=1/(4pi epsilon_0) (|q|)/(r^2)`. (1.3.1)

Если заряд `q` положительный, то вектор `vecE` в точке `A` направлен в сторону от заряда вдоль прямой, соединяющей точечный заряд `q` и точку `A`; если же заряд `q` отрицательный, то вектор `vecE` в точке `A` направлен в сторону к заряду вдоль той же прямой.

Удобным способом учёта векторного характера величины `vecE` и знака заряда `q` является следующий. Пусть `vecr` — вектор, проведённый из точки, в которой расположен заряд `q`, в точку `A`, `|vecr|=r` — длина этого вектора (расстояние между точечным зарядом `q` и точкой `A`). Введём формальный единичный вектор вдоль направления `vecr`, `vece=(vecr)/r`, так что `|vece|=(|vecr|)/r=1` (это не `1` метр!). Тогда вектор напряжённости электрического поля точечного заряда `q` в точке, характеризуемой вектором `vecr`, можно представить в виде

`vecE=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2) vece`. (1.3.1′)

Формулу (1.3.1.) иногда записывают в виде `|vecE|=1/(4pi epsilon_0) (|q|*(+1))/(r^2)`; при этом о напряжённости говорят как о силе, действующей со стороны заряда `q` на некий условный единичный положительный точечный заряд `(+1)` (не заряд в `+1` Кл!). Нужно, впрочем, помнить, что сила и напряжённость электрического поля имеют разную размерность. В системе СИ напряжённость электрического поля измеряется в вольтах на метр (В/м): `1`В/м `=1`Н/`1`Кл.

Принцип суперпозиции. Напряжённость есть векторная величина. Это означает, что если имеются два заряда `q_1` и `q_2` каждый из них в некоторой точке создаёт свои напряжённости поля `vecE_1` и `vecE_2`, то результирующая напряжённость (результирующая сила, действующая на единичный положительный заряд, со стороны обоих зарядов) будет равна векторной сумме

получаемой по правилу параллелограмма (рис. 2) или треугольника.

Аналогично, в случае `N` зарядов:

`vecE=vecE_1+vecE_2+. +vecE_N=sum_(k=1)^N vecE_k`, (1.3.3)

причём векторная сумма вычисляется по правилу многоугольника (либо последовательно несколько раз по правилу параллелограмма).

Введя понятие напряжённости электрического поля, мы каждой точке пространства около заряда `q` (или около системы зарядов) приписываем некоторый вектор `vecE=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2)vece` (в случае системы зарядов нужно ещё вычислить сумму (1.3.3.)), который, в конце концов, позволяет вычислять по формуле `vecF=q^’vecE` силу, действующую на любой другой заряд `q^’`.

Расстояние между точечными зарядами `q_1=+1` нКл и `q_2=-2` нКл равно `d=13` см. Определить напряжённость результирующего электрического поля обоих зарядов в точке, расположенной на расстоянии `r_1=5` см от первого и `r_2=12` см от второго заряда.

Легко заметить, что `r_1^2+r_2^2=d^2`, т. е. треугольник, образованный зарядами и интересующей нас точкой, прямоугольный. Поэтому напряжённости, создаваемые в этой точке отдельными зарядами, перпендикулярны друг другу (рис. 3). Далее, по теореме Пифагора

`E=sqrt(E_1^2+E_2^2)`, где `E_1=1/(4pi epsilon_0) (q_1)/(r_1^2)=3600` В/м и `E_2=1/(4pi epsilon_0) (|q_2|)/(r_2^2)=1250` В/м.

В итоге `E~~3811` В/м.

Электрическое поле равномерно заряженной сферы. Вне равномерно заряженной сферы электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр сферы точечный заряд, равный по величине суммарному заряду сферы (рис. 4, а – б). Нетривиальный факт состоит в том, что внутри равномерно заряженной сферы напряжённость электрического поля равна нулю (см. `[2 – 3]`).

Если имеются две концентрические равномерно заряженные сферы, то за пределами обеих сфер поле такое же, какое создавали бы два точечных заряда, равные зарядам сфер и помещённые в их общий центр. В области между сферами внешняя сфера не вносит вклада в напряжённость поля.

Вне равномерно заряженного по объёму шара электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр шара точечный заряд, равный по величине суммарному заряду шара. Последнее легко понять: поле шара можно представить как результирующее поле множества тонких шаровых слоёв («сфер»). О том, каким будет поле внутри шара, см. Пример 8.

Оценить заряд Земли `Q`, если известно, что в среднем вблизи поверхности Земли существует статическое электрическое поле, направленное вниз перпендикулярно поверхности Земли в каждой её точке, напряжённость которого равна `E~~130` В/м. Радиус Земли `R~~6370` км.

Напряжённость электрического поля направлена вниз перпендикулярно поверхности Земли, т. е., к центру Земли. Отсюда можно сделать вывод, что заряд Земли отрицателен. По формуле (1.3.1).

`|Q|=4pi epsilon_0ER^2=(130*(6,37*10^6)^2)/(9*10^9)~~5,9*10^5` Кл, т. е. `~~600` тысяч кулон.

Хотя атмосфера Земли обладает положительным электрическим зарядом, она не вносит вклада в напряжённость электрического поля на поверхности Земли (каждый из её сферических слоёв даёт нулевой вклад в напряжённость поля). Напряжённость поля порядка `130` В/м есть среднее поле вблизи поверхности Земли. При приближении, например, грозовой тучи поле может возрасти в тысячи раз.

Какой максимальный заряд можно сообщить металлическому шарику радиусом `r=1` см, чтобы ещё не происходило пробоя воздуха. Пробойное поле сухого воздуха `E_»пр»~~3*10^6` В/м. (Если напряжённость электрического поля больше этого значения, происходит пробой воздуха – воздух начинает проводить электричество (возникает электрический ток) – и заряд стекает с заряженных тел на другие тела.)

По формуле (1.3.1) получаем `q_(max)=4pi epsilon_0E_»пр»r^2~~0,33*10^(-7)`Кл.

Оценить силу взаимодействия двух шариков радиусом `r=1` см, заряженных до максимально возможного заряда (чтобы ещё не происходило пробоя воздуха вблизи шариков) при расстоянии между центрами шариков `d=10` см. Пробойное поле сухого воздуха `E_»пр»~~3*10^6` В/м.

`f=1/(4pi epsilon_0) (q_(max)^2)/(d^2)=1/(4pi epsilon_0) ((4pi epsilon_0E_»пр»r^2)^2)/(d^2)=(4pi epsilon_0E_»пр»^2r^4)/(d^2)~~10^(-3)` H.

Мы получили весьма малую силу (сила тяжести, действующая на льдинку массой `1` г объёмом примерно в `1 «см»^3`, почти в `10` раз больше). Вот почему, хотя электрические силы обычно считаются большими, заметить их не всегда легко. Реально мы видим лишь электрическое притяжение друг к другу очень лёгких тел (например, листочков бумаги к наэлектризованной расчёске).

Пользуясь тем свойством, что внутри равномерно заряженной сферы напряжённость электрического поля равна нулю, найти напряжённость поля внутри равномерно по объёму заряженного шара радиусом `R` и зарядом `Q`. (К таким практически равномерно по объёму заряженным шарам можно с хорошей точностью отнести, например, атомные ядра.)

Найдём напряжённость поля в какой-нибудь точке `A` на расстоянии `r вне малого шара радиуса $$ r$$ не вносит вклада в напряжённость электрического поля в точке `A`.

Внутренняя область шара радиуса `r` создаёт в точке `A` электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр шара точечный заряд, равный по величине суммарному заряду этого шара радиуса `r`. Этот заряд вычислим по формуле `q=(4pi)/3 r^3 rho`, где `rho` — объёмная плотность заряда, равная `rho=Q//((4pi)/3 R^3)`, поэтому `q=Q (r^3)/(R^3)`. Напряжённость поля, создаваемая точечным зарядом `q` на расстоянии `r`, найдём по формуле (1.3.1). В итоге получаем

`vecE(vecr)=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2) vece=1/(4pi epsilon_0) Q/(R^3) r*vece = 1/(4pi epsilon_0) Q/(R^3)vecr`,

т. е. `|vecE(vecr)|=1/(4pi epsilon_0) Q/(R^3) r`

при `rR`, разумеется, `|vecE(vecr)|=1/(4pi epsilon_0) Q/(r^2)` — напряжённость поля шара такая же, как от точечного заряда `Q`.

Электрический диполь. Так называется система, состоящая из двух точечных зарядов равных по величине, но противоположных по знаку. Пусть заряды `q_1=-q` и `q_2=+q` в некоторой системе координат характеризуются радиус-векторами `vecr_1` и `vecr_2` (см. рис. 6). Дипольным моментом диполя называется векторная величина `vecp=q_1vecr_1+q_2vecr_2=q(vecr_2-vecr_1)=qvecl`, а величина `l=|vecl|=|vecr_2-vecr_1|` называется плечом диполя.

Два точечных заряда диполя `q_1=e` и `q_2=-e`, где `e=1,6*10^(-19)` Кл, расположены на расстоянии `l=10^(-10)` м друг от друга. Определить напряжённость электрического поля на расстоянии $$ R=10l>>l$$ от центра диполя в направлении оси диполя. Ответ выразить через дипольный момент диполя `p=el`.

`~~e/(4pi epsilon_0) (2Rl)/(R^4) =1/(4pi epsilon_0) (2el)/(R^3)=1/(4pi epsilon_0) (2p)/(R^3)~~2,88*10^8` В/м.

Рассмотрим более сложный пример использования принципа суперпозиции.

По тонкому кольцу радиусом `r` равномерно распределён заряд `q`. Найти напряжённость электрического поля на оси кольца в точке `A`, расположенной на расстоянии `R` от центра (рис. 7).

Напряжённость поля направлена, очевидно, вдоль линии, соединяющей точку `A` и центр кольца, т. е. перпендикулярна плоскости кольца. Рассмотрим малый элемент кольца с зарядом `Deltaq`, который будем рассматривать как точечный. Вклад от него в искомую напряжённость поля есть `DeltaE=k(Deltaq)/(R^2+r^2)cosalpha`, где `k=1//4pi epsilon_0`, `alpha` — угол, под которым из точки `A` виден радиус кольца, `cosalpha=R/(sqrt(R^2+r^2))`. Тогда `DeltaE=k(Deltaq)/((R^2+r^2)^(3//2))R`. Все различные элементы кольца `Deltaq` находятся на одинаковом расстоянии от точки `A`, поэтому вносят одинаковый вклад в результирующую напряжённость электрического поля в этой точке. Сумма вкладов от всех элементов кольца будет равна `E=1/(4pi epsilon_0) (R*q)/((R^2+r^2)^(3//2))`. Заметим, что в предельном случае больших расстояний до точки `A` (или малого радиуса кольца), когда выполняется сильное неравенство $$ R>>r$$ наша формула переходит в формулу `E~~1/(4pi epsilon_0) q/(R^2)` для точечного заряда.

Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Вычисление поля в данном случае требует привлечения знаний высшей математики. Без сложных вычислений можно, однако, сделать два следующих утверждения, основываясь лишь на соображениях симметрии, а также на том факте, что густота линий напряжённости пропорциональна величине `vecE` (см. Учебник):

1) Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости перпендикулярно плоскости (рис. 8). Дело в том, что перпендикуляр к плоскости – единственное выделенное направление в задаче. Если бы вектор `vecE` был направлен под некоторым углом `alpha` к плоскости, мы бы ещё спросили себя: «Чем это направление лучше, чем все другие прямые, имеющие тот же угол `alpha` с плоскостью, и направленные вдоль образующих конуса с углом `alpha` при вершине?» Ясно, что ничем не лучше: если плоскость бесконечная и заряжена одинаково во всех точках, то и любые направления вдоль неё эквивалентны друг другу.

2) Величина электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости одинакова во всех точках пространства. В самом деле, все точки на плоскости, параллельной нашей заряженной плоскости, эквивалентны друг другу (снова вспоминаем, что наша плоскость бесконечная и заряжена одинаково во всех точках). Это означает, что при движении в плоскости, параллельной нашей равномерно заряженной плоскости, густота линий напряжённости электрического поля не изменяется. Но в силу перпендикулярности вектора `vecE` к плоскости во всех точках, эта густота линий не будет изменяться и при удалении от заряженной плоскости (вне плоскости нет зарядов, на которых могли бы закончиться «силовые» линии). Таким образом, густота линий напряжённости электрического поля будет одинаковой во всех точках пространства, независимо от расстояния до нашей заряженной плоскости. Это эквивалентно тому, что электрическое поле по обе стороны от бесконечной равномерно заряженной плоскости однородно, т. е. одинаково во всех точках обоих полупространств. Разумеется, по разные стороны от заряженной плоскости напряжённости поля направлены в противоположные стороны. В случае положительно заряженной плоскости вектор `vecE` в обоих полупространствах направлен от плоскости, а в случае отрицательно заряженной — к плоскости.

Величина вектора напряжённости `vecE` может быть вычислена по формуле

которую мы приведём без вывода, где `sigma=Deltaq//DeltaS` — поверхностная плотность заряда, `Deltaq` — заряд элемента поверхности площадью `DeltaS`.

Хотя в природе не существует бесконечных равномерно заряженных плоскостей, формула (1.3.4) с успехом используется для расчётов электрических полей заряженных тел в виде больших пластин или просто плоских объектов при небольшом удалении от центральной их части.

Электростатическое поле создаётся двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными с поверхностными плотностями заряда `sigma_1=-1 «нКл»//»м»^2` и `sigma_2=+1 «нКл»//»м»^2`. Определить напряжённость электрического поля между плоскостями и снаружи.

`|sigma_1|=sigma_2-=sigma`, `|E_1|=|E_2|-=E=sigma//2 epsilon_0`. Далее воспользуемся принципом суперпозиции полей. Между плоскостями напряжённости полей отдельных пластин направлены в одну и ту же сторону (рис. 9), по этому результирующая напряжённость `E_(«in»)=2E=sigma//epsilon_0=113` В/м и направлена от положительной плоскости к отрицательной. Снаружи поля разных плоскостей направлены в противоположные стороны, поэтому результирующая напряжённость поля там `E_(ex)=0`.

Пользуясь принципом суперпозиции, доказать, что напряжённость электрического поля равномерно заряженной полусферической чаши во всех точках плоскости, стягивающей края чаши (как кожа на барабане), перпендикулярна этой плоскости.

Мысленно дополним полусферу ещё одной такой же полусферой так, чтобы получилась целая сфера. Напряжённость поля внутри равномерно заряженной сферы равна нулю. С другой стороны, эта напряжённость складывается из двух напряжённостей – исходной полусферы `vecE` и мысленно добавленной `vecE^’`. Таким образом, имеем равенство `vecE+vecE^’=0`, или `vecE=-vecE^’`. Последнее возможно только в том случае, если углы наклона векторов `vecE` и `vecE^’` к плоскости одинаковы, т. е. равны `90^@` (рис. 10).