Теория: Умножение и деление периодических дробей на 10, 100, 1000, .
Чему равно произведение (в скобках запишите минимальный период):
Умножение периодических дробей на 10, 100, 1000 и так далее
Для того чтобы умножить периодическую дробь на \(\displaystyle 10, 100, 1000,\ldots,\) нужно:
1) расписать период;
2) воспользоваться правилом умножения десятичной дроби на \(\displaystyle 10, 100, 1000, \ldots\)
Распишем период дроби \(\displaystyle 0,(74)\):
Теперь умножим \(\displaystyle 0,747474\ldots\) на \(\displaystyle 100\). Так как у числа \(\displaystyle 100\) два нуля, то при умножении надо перенести запятую на два разряда вправо:
\(\displaystyle 0,747474\ldots\) → \(\displaystyle 074,7474\ldots=74,7474\ldots\)
Осталось представить периодическую дробь в виде дроби с минимальным периодом:
Ответ: \(\displaystyle 74,(74).\)
Периодические дроби
Существуют дроби, у которых в дробной части некоторые цифры бесконечно повторяются. Выглядят эти дроби следующим образом:
Дроби такого вида называют периодическими. В данном уроке мы попробуем разобраться, что это за дроби и как с ними работать.
Получаем периодическую дробь
Попробуем разделить 1 на 3. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Этот момент подробно описан в уроке действия с десятичными дробями, в теме деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.
Итак, делим 1 на 3
Видно, что мы постоянно получаем остаток 1, далее приписываем к нему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется вновь и вновь. В результате в дробной части каждый раз получается цифра 3. Деление 1 на 3 будет выполняться бесконечно, поэтому разýмнее будет остановиться на достигнутом.
Такие дроби называют периодическими, поскольку у них присутствует период цифр, который бесконечно повторяется. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять из одной как в нашем примере.
В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333 это цифра 3. Обычно такие дроби записывают сокращённо. Сначала записывают цéлую часть, затем ставят запятую и в скобках указывают период (цифру, которая повторяется).
В нашем примере повторяется цифра 3, она является периодом в дроби 0,33333. Поэтому сокращённая запись будет выглядеть так:
Читается как «ноль целых и три в периоде»
Пример 2. Разделить 5 на 11
Это тоже периодическая дробь. Период данной дроби это цифры 4 и 5, эти цифры повторяются бесконечно. Сокращённая запись будет выглядеть так:
Читается как «ноль целых и сорок пять в периоде»
Пример 3. Разделить 15 на 13
Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно из цифр 153846. Для наглядности период отделён синей линией. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:
Читается как: «одна целая сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».
Пример 4. Разделить 471 на 900
В этом примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:
Читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».
Виды периодических дробей
Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смéшанные.
Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:
Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.
Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смéшанной. Например, следующие периодические дроби являются смéшанными:
Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр.
Избавляемся от хвоста
Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нýжного разряда.
Например, округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:
Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.
Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33
Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.
Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:
Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317
Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь
Перевод периодической дроби в обыкновенную это операция, которую мы будем применять довольно редко. Тем не менее, для общего развития желательно изучить и этот момент. А начнём мы с перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь.
Мы уже говорили, что если период в периодической дроби начинается сразу после запятой, то такую дробь называют чистой.
Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби, а в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.
В качестве примера, рассмотрим чистую периодическую дробь 0, (3) — ноль целых и три в периоде. Попробуем перевести её в обыкновенную дробь.
Правило гласит, что в первую очередь в числитель обыкновенной дроби нужно записать период периодической дроби.
Итак, записываем в числителе период дроби 0, (3) то есть тройку:
А в знаменатель нужно записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (3).
В периодической дроби 0, (3) период состоит из одной цифры 3. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем одну девятку:
Полученную дробь можно сократить на 3, тогда получим следующее:
Получили обыкновенную дробь .
Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь получается
Пример 2. Перевести периодическую дробь 0, (45) в обыкновенную дробь.
Здесь период составляет две цифры 4 и 5. Записываем эти две цифры в числитель обыкновенной дроби:
А в знаменатель записываем некоторое количество девяток. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (45).
В периодической дроби 0, (45) период состоит из двух цифр 4 и 5. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем две девятки:
Полученную дробь можно сократить эту дробь на 9, тогда получим следующее:
Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (45) в обыкновенную дробь получается
Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь
Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числителе записать разность в которой уменьшаемое это цифры, стоящие после запятой в периодической дроби, а вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.
В знаменателе же нужно записать некоторое количество девяток и нулей. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби, а количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.
Например, переведём смешанную периодическую дробь 0,31 (6) в обыкновенную дробь.
Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:
Итак, записываем в числителе разность:
А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31 (6)
В дроби 0,31 (6) период состоит из одной цифры. Значит в знаменатель дроби записываем одну девятку:
Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.
В дроби 0,31 (6) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:
Получили выражение, которое вычисляется легко:
Получили ответ
Таким образом, при переводе периодической дроби 0,31 (6) в обыкновенную дробь, получается
Пример 2. Перевести смешанную периодическую дробь 0,72 (62) в обыкновенную дробь
Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:
Итак, записываем в числителе разность:
А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,72 (62)
В дроби 0,72 (62) период состоит из двух цифр. Значит в знаменатель дроби записываем две девятки:
Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.
В дроби 0,72 (62) между запятой и периодом располагаются две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:
Получили выражение, которое вычисляется легко:
Получили ответ
Значит при переводе периодической дроби 0,72 (62) в обыкновенную дробь, получается
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Как умножать числа в периоде
Вероятно, читатель знает (а если нет ещё лучше: он узнает это из нашей статьи), что всякая обыкновенная дробь представляется периодической десятичной дробью (конечную десятичную дробь мы можем считать периодической с Но вряд ли многие представляют, сколько неожиданностей заключает в себе эта периодическая дробь. Рассмотрим три примера:
7
12
13
Мы видим, что у чисел 1 / 7 и 1 / 13 период начинается сразу после запятой и состоит из шести цифр (142857 и 076923 соответственно), а у он начинается с третьей позиции после запятой и состоит из единственной Внимательное рассмотрение периодов позволяет заметить ещё одно обстоятельство. Именно, положим (период и будем последовательно умножать
| 2 N = 285714, | 3 N = 428571, |
| 4 N = 571428, | 5 N = 714285, |
| 6 N = 857142, | 7 N = 999999. |
Мы видим, что первые пять из этих чисел получаются из числа N «круговой перестановкой» цифр: цифр из конца числа переезжает в начало; а состоит из одних девяток. Теперь проделаем то же с периодом
| 2 N = 153846, | 3 N = 230769, |
| 4 N = 307692, | 5 N = 384615, |
| 6 N = 461538, | 7 N = 538461, |
| 8 N = 615384, | 9 N = 692307, |
| 10 N = 769230, | 11 N = 846153, |
| 12 N = 923076, | 13 N = 999999. |
Здесь дело обстоит несколько иначе, но всё равно интересно: пять из выписанных 4 N , 9 N , получаются из числа N круговой перестановкой цифр, другие шесть 5 N , 6 N , 7 N , получаются круговой перестановкой цифр друг из друга и, наконец, состоит из одних девяток.
Можно заметить ещё вот что. Если взять любое из выписанных выше шестизначных чисел, кроме числа 999999, «разломить» его на два трёхзначных числа и вычислить сумму этих половинок, то получится 999; например,
Как видите, с периодическими десятичными дробями связано немало загадок. Некоторые из этих загадок остаются не разгаданными по сей день, несмотря на многочисленные попытки, предпринимавшиеся на протяжении нескольких веков математиками из разных стран, как великими, так и более «скромными». Всё же об этом мы можем рассказать.
Хобби Иоганна Бернулли
Оставим на время периоды и перенесёмся в Швейцарию конца XVIII века. Мы наблюдаем странную картину: маститый математик Иоганн III Бернулли, представитель знаменитой математической семьи Бернулли, удостоившейся, подобно королевским династиям, присоединения порядковых номеров к именам, занимается, можно сказать, детской игрой! Он разлагает на простые множители числа, записываемые одними единицами: 11 = 11, В 1773 году Бернулли помещает в трудах Берлинской академии таблицу простых делителей чисел, составленных из до Несмотря на то, что ему не удалось найти делители для некоторых чисел этого вида 17, 29), а для трёх чисел 25, 27) разложение не доведено до простых множителей, несмотря на допущенные им ошибки (для 24, 26), мы сегодня можем только преклоняться перед гигантским трудом по вычислению простых множителей этих огромных чисел. Можно предположить, что автором таблицы двигала не только исследовательская жилка учёного, но и подлинная эстетическая страсть художника, вдохновлённого удивительным притягательным миром этой загадочной вереницы единиц. Свои сомнения в правильности разложения в отдельных случаях И. Бернулли отражает звёздочкой.
В течение первых ста лет, прошедших со времени опубликования таблицы И. Бернулли, в неё не было внесено особой ясности. В 1838 году Вестерберг разложил на простые множители число из и это всё. В 1879 году французский математик Эдуард Люка находит простые делители для и признаёт, что цепочка из не поддаётся разложению. В 1895 году в Париже выходит его книга «Занимательная арифметика», содержащая приведённую ниже таблицу.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Угасший было интерес к числам, составленным из единиц, вновь возрос в последние годы, особенно в связи с развитием теории арифметических кодов, служащей основой для реализации методов помехоустойчивого кодирования в компьютерной технике (см., например, книгу Ю. Г. Дадаева «Теория арифметических кодов», изданную в Москве в 1981 г.). Наши загадочные числа, спустя почти двести лет после опубликования первой таблицы их делителей, приобретают, наконец, собственное имя. В «Занимательной теории чисел» 1964 г.) её автор А. Бейлер, посвятив этим числам целую главу под названием «111. 1111», вводит для них термин «repunit» (сокращение английского repeated unit повторенная единица). Русского слова «репьюнит» ещё не найти в словарях, но оно уже появляется в рефератах к зарубежным статьям, приобретая силу нового международного термина.
Математики продолжают штурмовать таблицу делителей репьюнитов, и к n в таблице уже достигает 3000 (С. Ейтс), однако в ней ещё достаточно много пробелов. (К настоящему времени часть этих пробелов ликвидирована и найдены делители. репьюнитов включительно). Отдельный интерес представляют простые репьюниты, поиск которых также продолжается. Уже доказано, что и репьюниты простые.
Нас, однако, репьюниты интересуют не сами по себе, а в связи с периодами десятичных дробей. Существование связи между теми и другими предвидел и Бернулли, который одновременно с уже упоминавшейся таблицей делителей репьюнитов опубликовал обзор известных к тому времени результатов о периодах десятичных дробей, включавший в себя пространную таблицу этих периодов В действительности, эта связь, как мы сейчас увидим, лежит на поверхности.
Делители репьюнитов и
представление обыкновенных дробей десятичными
Начнём с трёх простых наблюдений.
Наблюдение 1 . Предположим, что число 999. 999, составленное из n девяток, делится на данное натуральное Запишем частное от деления в виде числа :
999. 999
a 1 a 2 a 3 . a n
( где несколько первых цифр a i могут быть нулями ). Тогда
m
Наблюдение 2 . Если число m не делится на 3, то делимость на m числа, составленного из равносильна делимости числа, составленного из
Наблюдение 3 . Если число m не делится на 2 и на 5, то найдётся репьюнит, делящийся
Доказательство . Будем последовательно находить остатки от деления чисел 1, 11, 111 Последовательность этих остатков бесконечна, но в то же время для них имеется только значений Поэтому найдутся два разных репьюнита с одинаковыми остатками от деления («принцип Дирихле»!). Разность этих репьюнитов делится в то же время она имеет вид произведением некоторого репьюнита на некоторую степень Но взаимно просто значит, последний репьюнит делится
Теперь мы можем сформулировать Важный Результат.
Теорема 1 . Если натуральное число m не делится на 2 и на 5, то период десятичной дроби , начинается сразу после запятой. Его длина равна наименьшему n, при котором число, составленное из делится Сам период равен частному от деления этого числа из девяток записанному как число ( возможно, с нулями в начале ). Если m не делится и на 3, то можно также сказать, что длина периода равна номеру первого репьюнита, делящегося на m .
Всё это нами уже доказано. Между прочим, из этой теоремы вытекает следующий, довольно неожиданный результат.
Следствие . Если m не делится на 2, 3 и 5, то период десятичной дроби , делится на 9.
Действительно, если m не делится на 3, то число делится на 9.
Утверждения о периодах в случаях, не охватываемых мы приведём в качестве упражнений.
Упражнение 1 . Пусть m = 2 a 5 b m’ , где m’ не делится ни ни и пусть Тогда период десятичной дроби, начинается с позиции после запятой и имеет такую же длину, как период
Доказательство этого утверждения опирается на лемму: если р и q взаимно просты, то найдутся целые положительные A и B такие, что
Упражнение 2 . Если р и q взаимно просты, то период десятичной дроби, имеет такую же длину, как период десятичной
Наконец, можно усилить наше следствие.
Упражнение 3 . Если q не делится на 3, то при период десятичной дроби, делится на 9.
Теперь мы приступаем к изучению зависимости длин периодов от знаменателей. В этом изучении нам поможет, наряду с теоремой 1,
Малая теорема Ферма
В отличие от своей «Великой теоремы» малую теорему Пьер Ферма снабдил доказательством: он изложил его в в одном из писем. Теорема формулируется так:
Если p простое число и a произвольное натуральное число, не делящееся на p, то делится на p .
Мы не приводим доказательства этой теоремы (хотя читатель, который проделает все упражнения к этой статье, вероятно сможет её доказать). Её доказательство имеется в популярной литературе (см., например, книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика?», переизданную в Москве в 1976 г.). Нас эта теорема интересует, главным образом, как средство доказательства фундаментального свойства периодов.
Длина периода дроби с простым знаменателем
Теорема 2 . Если p есть простое число, отличное от 2 и 5, то длина периода является делителем числа
Доказательство . Согласно теореме 1, длина периода есть наименьшее такое, что число, составленное из делится В то же время в силу малой теоремы Ферма число т.е. число, составленное из девяток, делится Мы должны доказать, что делится Если то доказывать нечего; предположим, что Числа, составленные из и n девяток, делятся дополним второе из них нулями до числа и составим разность полученных чисел:
| | 999. 999 999. 999 999. 999 000. 000 |
| 999. 999 |
Это число составлено из p 1 n девяток, и оно тоже делится Проделав ещё одно подобное вычитание, мы находим, что делится число, составленное из девяток, потом из девяток В конце концов мы придём к числу, в котором девяток меньше, и тут есть две возможности. Либо это число вообще будет нулём, но это как раз и значит, что делится Либо в этом числе девяток будет но а это противоречит тому, что n наименьшая возможная длина числа из девяток, которое делится Теорема доказана.
Обозначим для числа m через L ( m ) длину периода десятичной дроби, Мы доказали, что если p простое число, то есть делитель числа Но какой? Посмотрим на таблицу И. Бернулли (рис. 2). Мы видим, что Ясности не много.
- «полнопериодные» простые, у которых длина периода меньше знаменателя:
- «неполнопериодные» простые с нечётной длиной периода:
- «неполнопериодные» простые с чётной длиной периода:
Кропотливая работа математиков по выявлению какой-нибудь закономерности в расположении этих групп среди всех простых чисел увенчалась неожиданным результатом. Было обнаружено достаточно устойчивое отношение численностей этих групп в пропорции при этом были использованы таблицы длин периодов для простых знаменателей до 1 370 471 включительно (С. Ейтс, 1975 г.). Были получены и другие общие результаты, причём оказалось, что большое значение при определении длины периода с имеет остаток от деления Например, если этот остаток 27, 31, 39, то нечётно, а если то чётно. Всё же задача вычисления чисел для видимо, далека от решения.
Случай непростого знаменателя
Упражнение 4 . Если p 1 и p 2 взаимно просты между собой и то есть наименьшее общее кратное чисел и
Поскольку всякое натуральное число есть произведение степеней простых, которые между собой взаимно просты, последнее утверждение сводит задачу вычисления длины периода к случаю, когда знаменатель есть степень простого числа. А здесь снова нет ясности: например,
Теперь нам пора оставить длины периодов и обратиться к объяснению феноменов, обнаруженных в начале статьи.
Эффект круговой перестановки
Напомним, в чём он состоит. Мы видели, что шестизначный период при умножении 3, 4, подвергается круговой перестановке: цифр из конца числа переезжает в начало. Несколько иначе ведёт себя при умножении на различные числа шестизначный период Впрочем, что именно с ним происходит, читатель может вспомнить, заглянув в начало статьи, а мы сейчас докажем теорему, более или менее объясняющую это явление.
Теорема 3 . Пусть N есть период дроби 1/ m ( записанный как число, возможно, начинающееся одним или несколькими нулями ), где m взаимно просто с 10, и пусть l есть остаток от деления Тогда получается из перестановкой из начала числа в конец .
Доказательство . Пусть M есть целая часть числа т.е. Умножим десятичную при этом запятая переедет на влево. Целая часть получившегося числа Отбросим целую часть. Получится число
m
m
Это периодическая десятичная дробь, период которой получается из периода круговой перестановкой цифр: переезжает из начала в конец; но в то же время это число больше а значит, и его период больше периода Теорема доказана.
Если число 1/ m имеет ( m 1 )-значный период, то доказанная теорема всё объясняет. Действительно, круговыми перестановками цифр из периода можно получить чисел (включая его самого), и все эти числа различны. С другой стороны, умножая период мы тоже получаем чисел; значит, это в точности те же числа. Если же период короче, то круговые перестановки цифр не исчерпывают всех чисел с Всё, что можно сказать в этом случае это что круговая перестановка цифр всегда приводит к числу это доказывается точно так же, как теорема 3.
Интересно, что теорема 3 в некотором смысле обращается:
Теорема 4 . Пусть N есть целое число ( запись которого, возможно, начинается нулём или несколькими нулями ), и пусть A есть число, составляемое последними Предположим, что при перенесении из конца в начало оно превращается в где Тогда периодическая десятичная равна ( Последняя дробь может оказаться сократимой .)
Доказательство . Пусть n число знаков При перенесении из конца в начало оно превращается в число
N A
10 k
N A
10 k
| N (10 n k l 1)
A | = 10 n 1, |
A
что нам и требуется.
Сами того не желая, мы научились решать один тип олимпиадных задач. Вот пример.
Задача . Найти все шестизначные числа, которые увеличиваются в целое число раз при перенесении последней цифры из конца в начало . (Мы будем считать, как это обычно делается, что число начинается не с нуля; задачу мы можем и без этого предположения, но ответ будет чересчур громоздок: он будет включать в себя числа 000001, 000009, 000011, Мы будем также понимать слово «увеличивается» буквально, т.е. исключим случай, когда число остаётся при перенесении цифры неизменным; в противном случае в ответ вошли бы числа 111111, 999999.)
Решение . Пусть A последняя цифра нашего числа, и пусть при её перенесении в начало число увеличивается в Таким образом, В силу теоремы 4 наше число есть шестизначный период (возможно, сократимой) дроби Знаменатель этой дроби до сокращения может быть одним из 29, 89; после сокращения на однозначное число знаменатель может превратиться ещё в Так как период дроби шестизначный, знаменатель должен быть делителем числа Это оставляет для него только три возможности: 7, 13, 39. Таким образом, При наша дробь где (дробь должна быть поскольку период не должен начинаться с нуля). Период такой дроби есть (период есть 025641). При дробь и должна сокращаться что оставляет для неё единственную период равен 142857. Итак,
Ответ : 102564, 128205, 142857, 153846, 179487, 205128, 230769.
Упражнение 5 . Решите аналогичную задачу для чисел.
Указание . Воспользуйтесь таблицей делителей репьюнитов.
Теорема 5 . Пусть q простое число, большее 5, и пусть Предположим, что период есть Далее, обозначим число, образуемое первыми периода, и число, образуемое его последними Тогда
Доказательство . По условию,
q
10 2 n 1
Поскольку 2 n есть наименьшее k , при котором делится не делится а так как q простое число, то взаимно просто Значит, делится на Но в то же время это числа, которые не оба состоят из одних девяток. Значит, и, таким образом, что и требовалось доказать.
Заметим, что простота q использовалась нами только в одном месте: мы вывели из неё, что взаимно просто Разумеется, эта взаимная простота может наступить и при так что заключение нашей теоремы справедливо и при многих непростых знаменателях.
Ещё один эффект
Рассмотрим снова период дроби 1 / 7 : N = 142857. Возведём его в квадрат отделим последние шесть цифр и сложим с тем, что останется:
122449 + 20408 = 142857.
Получился снова наш период. Проделаем подобное с периодом
Получился, правда, не наш исходный период, но число, отличающееся от него на круговую перестановку цифр. Аналогичное для периода
Упражнение 6 . Дайте этому объяснение.
Как перевести периодическую дробь
Есть такие хитрые дроби, которые не хотят заканчиваться: в их дробной части цифры могут повторяться бесконечно. Вот бы перенести это свойство на каникулы, но, увы, математика не ждет. В этой статье расскажем про периодические дроби.
24 декабря 2020
· Обновлено 9 августа 2023
Определение дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это запись числа в математике, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид — ½ или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
- 0,7
- 6,51
- 9,932
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут
10 минут — и ты разберёшься, как стать тем, кем захочешь
Переход к периодической десятичной дроби
Рассмотрим обыкновенную дробь вида a/b. Разложим ее знаменатель на простые множители. Тут есть два варианта:
- В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным.
- В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь невозможно представить в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.
Чтобы задать периодическую десятичную дробь, нужно найти ее периодическую и непериодическую часть. Чтобы это сделать нужно привести дробь в неправильную, а затем разделить числитель на знаменатель столбиком.
Что будет происходить в процессе:
- сначала нужно будет разделить целую часть, если она есть;
- могут быть несколько чисел после десятичной точки;
- через некоторое время цифры начнут повторяться.
Повторяющиеся цифры после десятичной точки нужно обозначить периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.
Пример. Перевести обыкновенные дроби в периодические десятичные:
Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель уголком:
Остатки начали повторяться. Запишем дробь в соответствии с условиями задачи: 1,733 . = 1,7(3).
В итоге получаем: 0,5833 . = 0,58(3).
Фиксируем: 4,0909 . = 4,(09).
Получаем десятичную периодическую дробь: 0,4141 . = 0,(41).
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Выберите идеального репетитора по математике
15 000+ проверенных преподавателей со средним рейтингом 4,8. Учтём ваш график и цель обучения
Определение периодической дроби
Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определенная группа цифр.
Периодическая часть дроби — это набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть.
В краткой записи периодической дроби повторяющиеся цифры пишут в скобках и называют периодом дроби. Например, вместо 1,555… записывают 1,(5) и читают «одна целая и пять в периоде».
Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.
Виды периодических дробей: чистые и смешанные.
Чистая периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, в записи которой сразу после запятой следует период. Например: 1,(4); 4,(25); 21,(693).
Смешанная периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, в записи которой после запятой через одну или несколько цифр начинается период. Например: 3,5(1); 0,02(89); 7,0(123) и т.д.
Рассмотрим примеры дробей, чтобы научиться определять части и период.
Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.
Читаем так: ноль целых три в периоде.
7/12 = 0,583333. = 0,58(3)
Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.
Читаем так: ноль целых пятьдесят восемь сотых и три в периоде.
17/11 = 1,545454. = 1,(54)
Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.
Читаем так: одна целая пятьдесят четыре сотых в периоде.
25/39 = 0,641025 641025. = 0,(641025)
Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6.
Читаем так: ноль целых шестьсот сорок одна двадцать пять миллионных в периоде.
пятьдесят четыре сотых в периоде.
9200/3 = 3066,666. = 3066,(6)
Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.
Читаем так: три тысячи шестьдесят шесть целых и шесть в периоде.
Перевод периодической дроби в обыкновенную
Давайте разберемся, как перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь.
Если период дроби равен нулю, значит решение будет быстрым. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.
Пример. Преобразуем периодическую дробь 1,32(0) в обыкновенную.
Для этого отбросим нули справа и получим конечную десятичную дробь 1,32. Далее следуем алгоритму из предыдущих пунктов:
Рассмотрим пример, в котором период дроби отличен от нуля.
Как записать периодическую дробь 10,0219(37) в виде обыкновенной:
- Считаем количество цифр в периоде десятичной дроби. Обозначаем количество цифр за букву k. В нашем примере k = 2.
- Считаем количество цифр, которые стоят после запятой, но до периода десятичной дроби. Обозначаем количество цифр буквой m. m = 4.
- Запишем все цифры после запятой: в том числе и цифры из периода в виде натурального числа. Если вначале, до первой значащей цифры, идут нули, то отбрасываем их. Обозначим полученное число — a. a = 021937 = 21 937
- Теперь запишем все цифры, которые стоят после запятой, но до периода, в виде натурального числа. Если вначале до первой значащей цифры идут нули, то отбрасываем их. Обозначим полученное число — b. b = 0219 = 219
- Подставляем найденные значения в формулу, где Y — целая часть бесконечной периодической дроби. Y = 10
Теперь осталось подставить все найденные значения в формулу и получить ответ:
Вот так мы справились с задачей представить бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной.
Есть еще один способ преобразовать периодическую дробь в обыкновенную. Для этого нужно рассматреть периодическую часть как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Например, вот так:
0,(98) = 0,98 + 0,0098 + 0,000098 + 0,00000098 + ..
Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии есть формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что 0 < q < 1, то сумма равна b/(1-q).
Пример. Перевести периодическую дробь 0,(7) в обыкновенную.
- Запишем 0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + .. Видим бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 0,7 и знаменателем 0,1.
- Применим формулу b/(1-q): 0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + .. = 0,7 / (1 — 0,1) = 0,7/0,9 = 7/9.
Итак, есть два вида периодических дробей. Сейчас расскажем, чем отличаются способы их преобразования в обыкновенные дроби.
Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную
Напомним: отличие чистой периодической десятичной дроби в том, что в ней сразу после запятой следует период.
Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно записать числителем ее период, а в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде. Вот так:
Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную
Отличие смешанной периодической десятичной дроби в том, что после запятой через одну или несколько цифр начинается период.
Чтобы записать смешанную периодическую дробь в виде обыкновенной, нужно из числа, которое стоит до второго периода вычесть число, стоящее до первого периода, и записать результат в числителе.
А в знаменатель нужно поставить число, которое содержит столько девяток, сколько цифр в периоде, нулей в конце и сколько цифр между запятой и периодом.
Например, запишем 2,34(2) в виде обыкновенной дроби: