Как составить матрицу гессе

math serfer .narod.ru

Двойная сумма в формуле (9.8) содержит в качестве коэффициентов значения всех частных производных второго порядка, вычисленные в точке . Эти значений можно объединить в квадратную матрицу размера . Эта матрица называется матрицей Гессе функции в точке .

Если все смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то

так что матрица Гессе в этом случае симметрична: (знак означает транспонирование матрицы).

Заметим, что линейную часть правой части формулы (9.8) можно представить в виде

(точка означает скалярное произведение), а квадратичную часть, заданную двойной суммой в формуле (9.8), — в виде

при этом мы считаем вектор записанным в виде матрицы-столбца, а транспонированный вектор — в виде матрицы-строки. Тем самым, получаем формулу квадратичного приближения в виде

где — матрица Гессе.

В случае, когда — стационарная точка функции , градиент обращается в 0 в точке , так что получаем

где — приращение аргумента в точке . Таким образом, в окрестности стационарной точки приращение функции ведёт себя как квадратичная функция приращения аргумента:

Пример 9 . 1 Рассмотрим функцию

Покажем, что начало координат — это стационарная точка функции , и найдём квадратичное приближение функции в окрестности начала координат.

Частные производные первого порядка равны

При и обе частные производные, действительно, обращаются в 0, так что точка — стационарная. Вычислим элементы матрицы Гессе функции в точке :

При и получаем:

Так как значение равно 0, то квадратичное приближение функции в окрестности начала координат выглядит так:

Таким образом, при небольших функция приближённо равна .

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Задача на безусловный экстремум

Следовательно, точка А не является точкой экстремума функции.

Составим матрицу Гессе в точке В:

Вычислим главные диагональные миноры матрицы

Следовательно, точка В является точкой минимума функции,

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Найдем стационарную точку из условий

Вычислим главные диагональные миноры матрицы Гессе.

Минор второго порядка отрицателен, значит, в точке экстремума нет.

Матрица Гессе

Критерии определенности матрицы (теорема Сильвестра)

• все диагональные элементы матрицы должны быть положительны;
• все ведущие главные определители должны быть положительны.

• все диагональные элементы неотрицательны;
• все главные определители неотрицательны.

Для того, чтобы симметрическая матрица была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все ее диагональные миноры были положительны, т.е.

1. Понижение порядка. Делается замена переменных. Например, для функции двух переменных это y=x , в итоге получаем функцию одного переменного x . Далее исследуется поведение функции на прямых y=x и y=-x . Если в первом случае функция в исследуемой точке будет иметь минимум, а в другом случае максимум (или наоборот), то исследуемая точка представляет собой седловую точку.
2. Нахождение собственных значений гессиана. Если все значения положительные, функция в исследуемой точке имеет минимум, если все отрицательные – имеется максимум.
3. Исследование функции f(x) в окрестности точки ε. Переменные x заменяются на x₀+ε. Далее необходимо доказать, что функция f(x₀+ε) от одной переменной ε, либо больше нуля (тогда x₀ точка минимума), либо меньше нуля (тогда x₀ точка максимума).

2. Решим систему уравнений.
-4x₁+4x₂+2 = 0
4x₁-6x₂+6 = 0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x₁ и подставляем во второе уравнение:
x₂ = x₂+ 1 /₂
-2x₂+8 = 0
Откуда x₂ = 4
Данные значения x₂ подставляем в выражение для x₁. Получаем: x₁ = 9 /₂
Количество критических точек равно 1.
M₁( 9 /₂;4)
3. Найдем частные производные второго порядка.

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).
Вычисляем значения для точки M₁( 9 /₂;4)

Строим матрицу Гессе:

D₁ = a₁₁ < 0, D₂ = 8 > 0
Поскольку диагональные миноры имеют различные знаки, то о выпуклости или вогнутости функции ничего сказать нельзя. Пример №2 . Выяснить, является ли функция f(x) = 2x₁ 2 + x₂ 2 + sin(x₁ + x₂) выпуклой в пространстве R 2 .
Решение. Дважды дифференцируемая функция является выпуклой в пространстве R 2 , если главные угловые миноры матрицы Гессе неотрицательны. Запишем матрицу Гессе – матрицу вторых производных:

Угловые миноры Δ_i соответственно равны:

Угловые миноры равны:

Таким образом, D₁ > 0, D₂ > 0 при всех значениях x∈R 2 , т.е. функция f(x) выпукла.

Составить матрицу Гессе

теперь я пытаюсь найти точки x1 и x2 из полученных частных производных как систему уравнений
нахожу x1=-x2/4 в первом уравнении и подставляю во второе уравнение
Решаю: -x2/4 + 2*x2=0
2*x2=x2/4
x2=x2/4 * 1/2= 2 в ответ x2=2 следовательно x1=-0,5
Вопрос такой в книге написано что x1=0 и x2=0 почему так? Может где накасячил в решении??

Теперь нахожу частные производные второго порядка и получил: по x1 (4*x1+x2)=4
по x2 (x1+2*x2)=2

Вопрос такой в книге в конечном итоге они получили матрицу такую =>
| 4 1 |
| 1 2 |
откуда взялись 4 и 2 это понятно (вторые частные производные) а вот откуда единицы мне не ясно?? Как их получили? И какое отношение имеет нулевая точка x0=[0,5;1], в своих вычислениях мы не применяем эти точки, а по задании написано составит ьматрицу Гессе по этой нулевой точке??

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Матрица Гессе
Подскажите правильно или нет функция z=3×2-4y2+3x+8y+3 матрица Гессе получилась у меня .

Матриц Гессе состоит из констант
Здравствуйте, есть задание: Найти условный экстремум функции f(x,y) \begin & \text< >.

Перечислить множество, заданное диаграммой Гессе.
На вас надежда, выручайте, я в дискретке дуб дубом!

Составить матрицу смежности для отношения
Собственно, нужно составить матрицу смежности отношения R\subset M*2^M, где M=. R =
4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038

Не надо никакие иксы искать. Гессиан — это матрица из вторых производных. Находите вторые производные, подставляете заданные иксы: x01 = 0,5, x02 = 1, и составляете матрицу.