Как разложить степень на множители

Разложение степени на множители. Разложите на множители

По определению степень является произведением. Используя это, можно представлять степени в виде призведения.

Простой пример разложения степени на множители:

12 2 = 12 * 12

Пример разложения степени на множители в форме призведения степеней:

12 2 = (3 * 4) 2 = 3 2 * 4 2

Здесь мы используем свойство степени, согласно которому произведение степеней равно степени произведения.

Пример разложения степени на множители:

12 5 = 12 2 * 12 3

Здесь мы используем свойство степени, согласно которому при умножении степеней с одинаковыми остнованиями, показатели степеней складываются.

Пример разложения степени на множители:

12 8 = (5 2 ) 4 = (5 2 ) 2 * (5 2 ) 2

Здесь мы используем свойство степени, согласно которому при умножении степеней с одинаковыми остнованиями, показатели степеней складываются.

Это же относится и к дробям:

(1/2) 5 = (1/2) 2 * (1/2) 3

Проверим правильность разложения дроби на множители:

(1/2) 2 * (1/2) 3 = (1/2) 2 + 3 = (1/2) 5

То есть получили исходную дробь в степени 5. Значит наше разложение степени дроби на множители верное.

Как разложить степень на множители

где выражения «проще» функций , представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) .

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Пример 1

Разложить на множители многочлен .

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель . Вынесем его за скобку и получим ответ: .

2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

Пример 2

Разложить на множители многочлен .

Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше:

3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

Пример 3

Разложить на множители многочлен .

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

• Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
• Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
• Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при . Многочлен степени – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось .

Пример 4

Разложить на множители многочлен .

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены и такие, что справедливо равенство

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов:
Решая эту систему, получаем:

Итак, многочлен разлагается на множители:

6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень угадан, многочлен представим в виде , где − многочлен степени на 1 меньше, чем .

Пример 5

Разложить на множители многочлен .

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть

,

где − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых ().

7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Пример 6

Разложить на множители многочлен .

Преобразуем данный многочлен:

Рассмотрим теперь многочлен , который при совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета:
Следовательно, . Значит, исходный многочлен разлагается на множители . Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив . Получим:

Разложение многочленов на множители

Выражения вида называются многочленами от x степени n (a_n ≠ 0) с действительными коэффициентами, если a_i, i = 0,1,2. n — действительные числа.

Как известно, если комплексное число – корень многочлена, то обязательно и комплексно сопряженное ему число является корнем многочлена. Поэтому их произведение

представляет собой квадратичное выражение.

Таким образом, любой многочлен с действительными коэффициентами всегда можно представить в виде произведения линейных и квадратичных множителей

где , а x₁, . x_s — действительные корни многочлена. То есть, если известны все корни многочлена с действительными коэффициентами, то можно сразу написать его разложение на множители.

Подбор корней многочлена.

В общем случае найти корни многочлена степени n довольно сложная задача, но можно попытаться найти хотя бы один корень x₀. Разделив исходный многочлен на одночлен x-x₀, мы получим многочлен степени n-1. Тем самым мы упростили исходную задачу, так как раскладывать на множители теперь надо многочлен степени n-1. Например, для многочлена третьей степени после деления на x₀ мы получим многочлен второй степени, корни которого найдем, просто решив квадратное уравнение. Существенную помощь в подборе рациональных корней многочлена может оказать следующая теорема.

Теорема. Если многочлен a(x)= a_n*x n + a_n-1*x n-1 + a_n-2*x n-2 + . + a₁*x + a₀, a_n ≠ 0 c целыми коэффициентами имеет рациональный корень x₀ =

(причем эта дробь несократима), то p – делитель свободного члена a₀, а q – делитель старшего коэффициента a_n. Из этой теоремы следует, что если старший коэффициент равен единице, то целые корни многочлена следует искать только среди делителей свободного члена.

Попробуем применить эту теорему для разложения многочлена на множители.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее .

Разложение на множители разности степеней

Частично использовать разложение на множители разность степеней мы уже умеем — при изучении темы «Разность квадратов» и «Разность кубов» мы научились представлять как произведение разность выражений, которые можно представить как квадраты или как кубы некоторых выражений или чисел.

Формулы сокращенного умножения

По формулам сокращенного умножения:

разность квадратов можно представить как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму

Разность кубов можно представить как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы

Переход к разности выражений в 4 степени

Опираясь на формулу разности квадратов, попробуем разложить на множители выражение $a^4-b^4$

Вспомним, как возводится степень в степень — для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е $^m=a^$

Статья: Разложение на множители разности степеней

Поможем написать реферат за 48 часов

Тогда можно представить:

Значит, наше выражение можно представить, как $a^4-b^4=<<(a>^2)>^2$-$<<(b>^2)>^2$

Далее можно заметить, что теперь многочлен представляет собой разность квадратов одночленов $a^2$ и $b^2$ .Разложим многочлен на множители как произведение разности одночленов на их сумму

Теперь в первой скобке мы вновь получили разность чисел, значит вновь можно разложить на множители как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму: $a^2-b^2=\left(a-b\right)(a+b)$.

Исходное выражение принимает вид

Теперь вычислим произведение второй и третьей скобок используя правило произведения многочленов, — умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат. Для этого сначала первый член первого многочлена — $a$ — умножим на первый и второй член второго (на $a^2$ и $b^2$),т.е. получим $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, затем второй член первого многочлена -$b$- умножим на первый и второй члены второго многочлена (на $a^2$ и $b^2$),т.е. получим $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ и составим сумму получившихся выражений

«Разложение на множители разности степеней» ��
Готовые курсовые работы и рефераты
Решение задач по учебе за 24 часа
Реферат по этой теме за 48 часов

$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

Запишем разность одночленов 4 степени с учетом вычисленного произведения:

Переход к разности выражений в 6 степени

Опираясь на формулу разности квадратов попробуем разложить на множители выражение $a^6-b^6$

Вспомним, как возводится степень в степень — для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е $^m=a^$

Тогда можно представить:

Значит, наше выражение можно представить, как $a^6-b^6=<<(a>^3)>^2-<<(b>^3)>^2$

Далее можно заметить, что теперь многочлен представляет собой разность квадратов одночленов $a^2$ и $b^2$ .Разложим многочлен на множители как произведение разности одночленов на их сумму

В первой скобке мы получили разность кубов одночленов, во второй сумму кубов одночленов, теперь вновь можно разложить на множители разность кубов одночленов как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы $a^3-b^3=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)$

Исходное выражение принимает вид

Вычислим произведение второй и третье скобок используя правило произведения многочленов, — умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат.

Запишем разность одночленов 6 степени с учетом вычисленного произведения:

Разложение на множители разности степеней

Проанализируем формулы разности кубов, разности $4$ степеней, разности $6$ степеней

Мы видим, что в каждом из данных разложений присутствует некоторая аналогия, обобщая которую получим:

Решение: Сначала представим каждый одночлен как некоторый одночлен в 5 степени:

Используем формулу разности степеней