Как умножить вектор на вектор

Умножение векторов

Для векторов существует три вида умножения векторов: скалярное и векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трех векторов. Результатом первого и последнего есть число, а результатом векторного произведения – вектор.

Скалярное умножение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\bar{a}\cdot \bar{b}=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \cos \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)$

Замечание. Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение равно нулю.

Замечание. Из определения скалярного произведения получаем, что угол (а точнее его косинус) между векторами-сомножителями вычисляется по формуле:

$\cos \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}\left\right|\cdot \left|\bar{b}\right|}$

Скалярное произведение вектора на самого себя называется скалярным квадратом и обозначается .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

Тогда длина вектора может быть найдена по формуле:

Скалярное произведение двух векторов положительно, если угол между векторами острый; и отрицательно, если угол тупой.

Критерий ортогональности векторов. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, то есть когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны):

Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

$\left. \begin{array}{l} {\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} \right)} \\ {\bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} \right)} \end{array}\right\}\Rightarrow \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=a_{1} \cdot b_{1} +a_{2} \cdot b_{2}$

Задание	Найти скалярное произведение векторов $\bar{a}=\left(-1;\; 3\right),\ \bar{b}=\left(2;\; -1\right)$
Решение	Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=-1\cdot 2+3\cdot \left(-1\right)=-2-3=-5$

Векторное умножение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Векторным произведением векторов и называется вектор, ортогональный плоскости, образованной векторами и , и длина которого равна

$\left|\bar{a}\times \bar{b}\right|=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \sin \angle \left(\bar{a},\bar{b}\right)$

Замечание. Таким образом, длина (модуль) вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и :

Критерий коллинеарности векторов. Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю:

Если векторы и заданы своими координатами в пространстве, то их векторное произведение определяется формулой:

$\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|$

Задание	Найти векторное произведение векторов $\bar{a}=\left(1;\; 2;\; 3\right),\ \bar{b}=\left(-2;\; 0;\; 4\right)$
Решение	Для нахождения векторного произведения указанных векторов составляем определитель:

$\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 4 \end{array}\right|$

Раскладывая его по элементам первой строки, будем иметь:

$\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 4 \end{array}\right|\begin{array}{c} {\leftarrow } \\ {} \\ {} \end{array}=$

$=\bar{i}\cdot \left(-1\right)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 0 & 4 \end{array}\right|+\bar{j}\cdot \left(-1\right)^{1+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -2 & 4 \end{array}\right|+\bar{k}\cdot \left(-1\right)^{1+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & 0 \end{array}\right|=$

$=\bar{i}\cdot \left(2\cdot 4-0\cdot 3\right)-\bar{j}\cdot \left(1\cdot 4-\left(-2\right)\cdot 3\right)+\bar{k}\cdot \left(1\cdot 0-\left(-2\right)\cdot 2\right)=8\bar{i}-10\bar{j}+4\bar{k}=\left(8;\; -10;\; 4\right)$

Смешанное умножение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{a},\; \left[\bar{b},\; \bar{c}\right]\right)$

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами :

$V_{parall} =\left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|$

Критерий компланарности векторов. Если три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

$\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right),\ \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right),\ \bar{c}=\left(c_{1} ;\; c_{2} ;\; c_{3} \right)$

Если векторы заданы в пространстве своими координатами: , то их смешанное произведение можно вычислить по формуле:

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$

Задание	Исследовать тройку векторов $\bar{a}=\left(1;\; 2;\; -1\right),\ \bar{b}=\left(3;\; 0;\; 2\right),\ \bar{c}=\left(4;\; 2;\; 1\right)$ на компланарность.
Решение	Вычислим смешанное произведение заданных векторов. Для этого составим определитель, по строкам которого записаны координаты исследуемых векторов и :

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right|=1\cdot 0\cdot 1+3\cdot 2\cdot \left(-1\right)+2\cdot 2\cdot 4-4\cdot 0\cdot \left(-1\right)-2\cdot 2\cdot 1-3\cdot 2\cdot 1=0$

Поскольку смешанное произведение равно нулю, то делаем вывод, что векторы компланарны.

Умножение векторов

Отличительная особенность векторного произведения состоит в том, что для него переместительное свойство (коммутативность) не имеет места. От перестановки векторов – сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный: .

Три вектора могут быть перемножены несколькими способами. Чаще всего рассматривают смешанное произведение двух векторов векторно и на третий скалярно.В результате получают число.

Смешанное произведение трех векторов , и , которое обозначается или , есть скаляр, абсолютная величина которого равна обьему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.

Указанные произведения векторов и их свойства достаточно просто выражаются через их прямоугольные координаты, т.е. координаты векторов в базисе , по сравнению с аналогичными выражениями в произвольном базисе , которых мы не приводим.

Пусть заданы два вектора и .

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

Угол между векторами вычисляется по формуле

или в координатной форме .

Проекция вектора на ось вектора находится из соотношения:

или в координатной форме .

Если учесть, что — орт вектора, то .

Условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения:

Векторное произведение ненулевых векторов выражается через координаты данных векторов и следующим образом:

Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е.  .

Скаляр , представляющий смешанное произведение трех векторов, равняется определителю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов:

Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .

Переход к новому базису

Координаты вектора зависят от выбора базиса. Выбор базиса ничем не ограничен, и принципиальное значение имеет задача о нахождении координат вектора в одном базисе по его координатам в другом базисе. Выясним, как устанавливается связь между координатами одного и того же вектора в различных базисах.

Пусть в пространстве имеются два базиса: старый и новый . Каждый из векторов (i =1,2,3) нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Матрица (i,k=1,2,3) называется матрицей перехода от старого базиса к новому. Базисные векторы (i =1,2,3) линейно независимы, поэтому матрица неособенная.

Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами некоторого вектора в разных базисах. Пусть этот вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е. и

Подставив значения из предыдущей системы в первое равенство

для вектора и учитывая второе равенство, получим систему уравнений:

Как нетрудно заметить, матрицей перехода от новых к старым координатам будет транспонированная матрица . В матричном виде взаимосвязь между старыми координатами и новыми выражается следующими равенствами:

Пример. В базисе заданы векторы и вектор . Показать, что векторы (i =1,2,3) образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство или

Задача сводится к решению системы:

Определитель системы не равен нулю. Следовательно, однородная система имеет только нулевое решение , значит векторы линейно независимы и образуют базис.

Связь между старым базисом и новым выражается системой уравнений:

Матрица перехода от старого базиса к новому имеет вид

Вычисляем . Она имеет вид

Находим транспонированную матрицу

Координаты в новом базисе находим из равенства

Новые координаты вектора в базисе есть (9/6, 5/6, 1/6) и вектор может быть представлен в виде:

Савельев И.В. Курс общей физики, том I

Кроме рассмотренных ранее операций сложения и вычитания векторов, а также умножения вектора на скаляр (см. §2), существуют также операции перемножения векторов. Два вектора можно умножить друг на друга двумя способами: первый способ дает в результате некоторый новый вектор, второй — приводит к скалярной величине. Отметим, что операции деления вектора на вектор не существует.

Сейчас мы рассмотрим секторное произведение векторов. Скалярное произведение векторов мы введем позднее, когда оно нам понадобится.

Векторным произведением двух векторов А и В называется вектор С, обладающий следующими свойствами:

1) модуль вектора С равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла α между ними (рис 35):

2) вектор С перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы А и В, причем направление его связано с направлениями А и В по правилу правого винта: если смотреть вслед вектору С, го совершаемый по кратчайшему пути поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке.

Символически векторное произведение можно записать двумя способами:

Мы будем пользоваться первым из этих способов, причем иногда для облегчения чтения формул будем ставить запятую между сомножителями. Не следует применять одновременно косой крест и квадратные скобки: [А В], Недопустима запись такого вида: [АВ]=ABs i nα. Слева здесь стоит вектор, справа — модуль этого вектора, т. е. скаляр. Справедливо следующее равенство:

Поскольку направление векторного произведения определяется направлением вращения от первого сомножителя ко второму, результат векторного перемножения двух векторов зависит от порядка сомножителей. Изменение порядка сомножителей вызывает изменение направления результирующего вектора на противоположное (рис. 35)

Таким образом, векторное произведение не обладает свойством коммутативности.

Можно доказать, что векторное произведение дистрибутивно, т. е. что

Векторное произведение двух полярных или двух аксиальных векторов есть аксиальный вектор. Векторное произведение аксиального вектора на полярный (или наоборот) будет, однако, вектором полярным. Изменение условия, определяющего направление аксиальных векторов, на обратное приведет в этом случае к изменению знака перед векторным произведением и одновременно к изменению знака перед одним из сомножителей, В итоге величина, выражаемая векторным произведением остается без изменений.

Модулю векторного произведения можно дать простую геометрическую интерпретацию: выражение ABs i nα численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах А и В (рис. 36; вектор С=[АВ] направлен в этом случае перпендикулярно к плоскости чертежа, за чертеж).

Пусть векторы А и В взаимно перпендикулярны (рис. 37).

Образуем двойное векторное произведение этих векторов:

т. е. умножим вектор В на А, а затем умножим вектор А на вектор, получившийся в результате первого умножения. Вектор [ВА] имеет модуль, равный , и образует с векторами А и B углы, равные π/2. Следовательно, модуль вектора D равен | A |*|[ BA ]|= A * BA = A 2 B . Направление же вектора D, как легко видеть из рис. 37, совпадает с направлением вектора В. Это дает нам основание написать следующее равенство:

Формулой (11.3) мы будем в дальнейшем пользоваться неодноктратно. Подчеркнем, что она справедлива только в том случае, когда векторы А и В взаимно перпендикулярны.

Уравнение (10.9) устанавливает связь между модулями векторов v и ω. С помощью векторного произведения может быть написано выражение, дающее cooтношение между самими векторами. Пусть тело вращает вокруг оси z с угловой скоростью ω (рис. 38). Jleгко видеть, что векторное произведение ω на радиус-вектор точки, скорость v которой мы хотим найти, представляет собой вектор, совпадающий по направлению с вектором v и имеющий модуль, равный ω r sinα =ω R , т.е. v [см. формулу (10.9)]. Таким образом, векторное произведение [ω R ] и по направлению и по модулю равно вектору v:

Формуле (11.4) можно придать иной вид. Для этого представим радиус-вектор r в виде суммы двух составляющих — вектора r_z , параллельного оси z и вектора, перпендикулярного к оси z: r = r_z + R (см. рис. 38). Подставив это выражение в формулу (11.4) и воспользовавшись дистрибутивностью векторного произведения [см. (11.2)], получим:

Векторы ω и r_z коллинеарны. Поэтому их векторное произведение равно нулю (sinα=0). Следовательно, можно написать, что

В дальнейшем, при рассмотрении вращательного движения, мы всегда будем обозначать через R перпендикулярную к оси вращения составляющую радиуса-вектора г, проведенного из точки, взятой на оси. Модуль этого вектора дает расстояние R точки от оси.

1. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

От конца вектора a → откладываем вектор, равный b → . Соединяем начало первого вектора и конец второго. Получившийся вектор, начало которого совпадает с началом вектора a → , а конец — с концом вектора b → , называется суммой этих векторов.