2 что такое составное высказывание приведите пример

Приведите примеры истинных и ложных составных высказываний образованных с помощью Союза или

1. Сегодня прошёл снег, или завтра продолжится зима. Это высказывание с обеими истинными частями. 2. Сегодня прошёл снег, или я не выходил из дома. Здесь истинное высказывание с первой истинной и со 2-й ложной частью. 3. Билет в кино ничего не стоит, или можно бесплатно поесть в кафе. Это полностью ложное высказывание.

Связаться с нами
Правила проекта
Лицензионное соглашение
Политика конфиденциальности

Логика высказываний

Из последнего правила следует, что можно преобразовывать формулы, получая другие, им эквивалентные, на более простые (содержащие меньше пропозициональных связок и переменных). Можно теперь любую формулу привести к какому-либо каноническому виду и этим решать определённого рода задачи. Более того, некоторые эквиваленции выражают основные свойства пропозициональных связок. Например, эквиваленции (Α ∧ B) ≡ (B ∧ Α) и (Α ∨ B) ≡ (Α ∨ B) выражают коммутативный закон конъюнкции и соответственно дизъюнкции. Все эти вопросы (и другие) изучает алгебра логики, основы которой заложены в работах Дж. Буля (1847, 1854) и А. де Моргана (1847).

Отметим некоторые эквиваленции, указывающие на взаимовыразимость одних связок через другие: Α ∧ B ≡ ¬ (¬ Α ∨ ¬ Β), Α ∨ B ≡ ¬ (¬ Α ∧ ¬ B), Α ⊃ B ≡ ¬ Α ∨ B, (Α ≡ B) ≡ (Α ⊃ B) ∧ (B ⊃ Α). Система пропозициональных связок M называется полной, если всякая формула эквивалентна некоторой формуле, в которую входят только связки из системы М, то есть посредством такой системы можно выразить все истинностные функции. Так, системы связок , и являются полными. Это значит, что мы можем строить логику высказываний на основе любой из указанных систем связок. Оказывается, полной может быть система, состоящая только из одной связки |, которая называется «штрих Шеффера»: высказывание p|q истинно тогда и только тогда, когда неверно, что p и q оба истинны. Достаточность связки | следует из тавтологий: ¬ Α ≡ Α|Α, Α ∨ B ≡ (Α|Α) | (B|B).

Наряду с понятием тавтологии фундаментальным для логики высказываний является понятие логического следования, поскольку одной из главных задач логики является устанавливать, что из чего следует, и тем самым указывать, какие высказывания являются теоремами при заданных условиях. Всякую теорему можно записать в виде импликации и таким образом выделить её условие и заключение. Говорят, B логически следует из Α или является логическим следствием из Α, и пишут Α | = B, если в таблицах истинности для Α и B формула B имеет значение И во всех тех строках, где Α имеет значение И. Отсюда вытекает, что Α | = B тогда и только тогда, когда Α ⊃ B есть тавтология. Если формула Α тавтология, то иногда пишут | = Α. Приведённое определение логического следования без труда расширяется на некоторую систему формул (систему посылок) Α₁, … Α_n, которая обозначается посредством Г, и тогда пишут Г | = B. Примером логического следования (вывода) из посылок является уже упомянутое правило modus ponens. Выводимость B из высказываний Α и Α ⊃ B следует из того, что формула (Α ∧ (Α ⊃ B) ⊃ B является тавтологией. Следует также отметить, что в силу таблиц истинности для связки импликации получаем, что тождественно истинная формула логически следует из любой системы формул. Α из того, что имеется разрешающая процедура для тавтологий, получаем, что проблема выводимости произвольной формулы B из заданной системы посылок также разрешима.

Если определено понятие тавтологии и определено семантическое понятие логического следования (как это сделано выше), то говорят, что дано семантическое представление логики высказываний, а сама логика высказываний зачастую отождествляется с множеством тавтологий или с самим отношением логического следования. Однако такое представление ставит серьёзную проблему: как обозреть все тавтологии, которых бесконечное множество? Для решения этой проблемы нужно перейти к синтаксическому представлению логики высказываний.

Формальный (символический) язык логики высказываний и понятие формулы остаются прежними. Но теперь из всего множества тавтологий выбирают некоторое их конечное (и, вообще говоря, определяемые неоднозначно) подмножество, элементы которого называются аксиомами. Например:

Таким образом, в отличие от табличного определение логических связок ¬, ∧, ∨, ⊃ задаётся аксиоматически. Затем с помощью уже известных правил, но чисто формально осуществляется вывод — переход от высказывания или системы высказываний к высказыванию: из Α и Α ⊃ B следует B (правило заключения); из Α (p) следует Α (B) (подстановка). Так, заданную логику высказываний обозначим посредством C₂ и назовём классической.

Каждая аксиоматическая система, которая использует правило подстановки, может быть переформулирована в виде системы аксиомных схем, где вместо пропозициональных переменных используются символы произвольных высказываний (так называемые метапеременные). В этом случае каждая аксиомная схема представляет бесконечное множество аксиом и тогда правило подстановки оказывается излишним.

Логическое исчисление, заданное посредством некоторого множества аксиом и некоторого множества правил вывода, называется исчислением гилбертовского типа. Выводом в нём называется всякая последовательность Α₁, … Α_n формул такая, что для любого i формула Α_i, есть либо аксиома, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула Α называется теоремой, если существует вывод, в котором последней формулой является Α; такой вывод называется выводом формулы Α. Запись |– Α служит сокращением утверждения «Α есть теорема». Если формула Α выводима из некоторого множества Г исходных формул, то тогда запись принимает вид Г |– Α.

Исходя из синтаксического представления логики высказываний, последняя зачастую отождествляется с множеством теорем или, что более принято, с отношением выводимости. Итак, при семантическом подходе формулы понимаются содержательно (как функции на множестве из двух элементов И, Л), а при синтаксическом подходе формула — это определённый набор символов и различаются только теоремы и нетеоремы. Однако, несмотря на такое различие, оба подхода к построению логики высказываний по существу совпадают и, как говорят, являются адекватными. Это значит, что совпадают понятия логического следования и понятия вывода. Рассмотрим следующую примечательную теорему, которая иногда называется теоремой адекватности: для всех Α, |– Α тогда и только тогда, когда |= Α.

Доказательство в одну сторону, а именно: для всех Α, если |– Α, то |= Α носит название теоремы о корректности. Это минимальное условие, которое мы требуем от логического исчисления и которое состоит в том, что представленная нами семантика корректна для выбранной аксиоматизации. Для доказательства теоремы нужно проверить, во-первых, что все аксиомы (1)–(11) являются тавтологиями, что легко устанавливается непосредственной проверкой с помощью истинностных таблиц, и, во-вторых, что правила вывода выбраны таким образом, что они сохраняют тавтологичность. Поэтому все формулы последовательности, образующей доказательство какой-либо теоремы исчисления C₂, в том числе и сама доказуемая теорема, являются тавтологиями. Из этой теоремы следует наиболее важное свойство нашего исчисления высказываний C₂: в C₂ формулы Α и ¬ Α одновременно недоказуемы, то есть исчисление высказываний C₂ непротиворечиво. Ели бы это было не так, то (с использованием аксиомы (10) и двойным применением modus ponens) в C₂ была бы доказуема любая формула B. В силу этого противоречивая логика высказываний никакой ценности не представляет. В ней истина и ложь неразличимы и поэтому любая теорема одновременно истинна и ложна.

Имеет место и обратное утверждение о том, каждая тавтология доказуема, то есть для всех Α, если |= Α, то |– Α. Доказательство этой теоремы не столь тривиально и носит название теоремы о полноте исчисления высказываний относительно предложенной семантики. По существу здесь утверждается, что логических средств, то есть аксиом и правил вывода, исчисления высказываний C₂ вполне достаточно для доказательства всех тавтологий. Таким образом, поставленная цель достигнута: используя минимальные средства, можно обозреть всё множество тавтологий.

Имеется много различных аксиоматизаций C₂, в том числе состоящих из одной аксиомы и содержащих только одну связку (штрих Шеффера). Понятно, что чем меньше аксиом, тем сложнее доказательства. И вообще, в гилбертовских исчислениях доказательство теорем и сам поиск вывода весьма громоздок. Поэтому используются другие формулировки исчисления, более или менее приближённые к естественным рассуждениям, такие, как исчисление секвенций, исчисление натурального вывода и другие. Но соотношение между семантикой и синтаксисом здесь не столь прозрачно.

Первая аксиоматизация классической логики C₂ была предпринята Г. Фреге (1879). Однако в терминах современного символического языка аксиоматизация C₂ появилась в «Princіріа Mathematica» А. Уайтхеда и Б. Рассела (1910–1913). В обеих работах вопрос о полноте просто не возникал. Их целью было показать, что вся логика, а в действительности вся математика может быть развита внутри их системы. Первая публикация доказательства полноты принадлежит Э. Посту (1921), который исходил из системы Уайтхеда и Рассела. Ещё ранее это было сделано П. Бернайсом. В обоих случаях использовались двузначные истинностные таблицы (приведённые выше) для доказательства теоремы адекватности. В этом случае говорят ещё, что эти таблицы являются характеристическими для C₂.

Теперь можно перейти к характеризации того, что называется классической логикой высказываний:

C₂ основана на принципе двузначности (бивалентности). В последнее время большое развитие получили так называемые «бивалентные семантики», не только для C₂.
Двузначные истинностные таблицы являются характеристическими. В этом смысле классическая логика высказываний является минимальной.
Классическая логика высказываний является максимальной в том смысле, что она не имеет расширений: всякое добавление к ней в качестве аксиомы какой-либо формулы, не выводимой в ней, делает её противоречивой.
Классическая логика высказываний имеет наиболее простую семантику, которую можно только изобрести. Всё это говорит о классической логике высказываний как уникальном явлении среди всего множества логик.

Если в приведеной аксиоматизации C₂ отбросить последнюю аксиому (закон исключённого третьего), то получим аксиоматизацию пропозициональной интуиционистской логики. Оказывается, она имеет континуум расширений (В. Л. Янков, 1968) и никакие конечнозначные истинностные таблицы не являются для неё характеристическими (К. Гёдель, 1932). Есть логики, которые имеют только одно расширение, то есть саму C₂.

Что касается множества логик, то результат Янкова говорит о том, что существует континуум различных пропозициональных исчислений только определённого класса, то есть таких логик, которые включают интуиционистскую логику (такие логики называются суперинтуиционистскими или промежуточными). Более того, в этом классе существует бесконечное множество логик, не имеющих конечной аксиоматизации, бесконечное множество неразрешимых логик, а также существуют конечнозначные логики с произвольным числом истинностных значений.

Следует отметить широкое применение алгебраических методов для решения различных задач логики высказываний. Это становится возможным прежде всего с истолкованием логики высказываний как некоторой структуры (в смысле алгебраической «теории структур»). Так, дистрибутивная структура с дополнениями (булевы алгебры) соответствует классической логике высказываний, а импликативная структура, где импликация является некоторым аналогом деления, если конъюнкция трактуется как умножение (псевдобулевы алгебры или алгебры Гейтинга), соответствует интуиционистской логике высказываний. Кроме того, в основе приложений булевой алгебры к логике лежит интерпретация элементов булевой алгебры как высказываний.

В заключение следует обратить внимание, что именно классическая логика высказываний лежит в основе проектирования микросхем для современной цифровой электронной техники, в том числе и для компьютеров, хотя в последнее время ведутся подобные работы, основанные на других логиках — многозначных, нечётких, паранепротиворечивых.

Библиография

Клини С. К. Введение в математику. — М., 1957.
Чёрч А. Введение в математическую логику, т. I. — М., 1960.
Новиков П. С. Элементы математической логики. — М., 1973.
Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М., 1984.
Карпенко A. C. Классификация пропозициональных логик. — В книге: Логические исследования. Вып. 4. — М., 1997.
Яглом И. М. Булева структура и её модели. — М., 1980.
Янков В. А. Построение последовательности сильно независимых суперинтуиционистских пропозициональных исчислений. — В книге: Доклады Академии наук СССР, 1968, т. 181, № 1.
Яновская С. А. Логика высказываний. — В книге: Философская энциклопедия, т. 3. — М., 1964.
Epstein R. L. The semantic foundations of logic, Vol. 1: Propositional logic. — Dordrecht, 1990.
From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic . — Harvard University Press, 1967, p. .

Логика: понятия и концепции

Абдукция
Аксиома
Аксиома выбора
Алгебра логики
Алгоритм
Алгоритмическая неразрешимость
Аналогия
Антиномизм
Антиномии отношения именования
Антиномия
Апория
Аргументация
Возможные миры
Вопрос
Вопрос и ответ
Высказывание
Дедукция
Денотат
Дефиниция
Дизъюнкция
Закон достаточного основания
Закон исключённого третьего
Закон противоречия
Закон тождества
Законы логики
Значение
Импликация
Имя
Индукция
Интенсионал и экстенсионал
Исчисление классов
Исчисление секвенций
Коннотация
Конструктивизм математический
Конструктивизм радикальный
Конструктивный объект
Конструктивный процесс
Конъюнкция
Логика
Логика вероятностная
Логика вопросов
Логика временная
Логика высказываний
Логика дедуктивная
Логика деонтическая
Логика индуктивная
Логика интенсиональная
Логика интуиционистская
Логика классов
Логика комбинаторная
Логика конструктивная
Логика математическая
Логика модальная
Логика науки
Логика нечёткая
Логика отношений
Логика паранепротиворечивая
Логика предикатов
Логика причинности
Логика релевантная
Логика свободная
Логика событий
Логика символическая
Логика трансцендентальная
Логика философская
Логика формальная
Логика эпистемическая
Логики многозначные
Логики неклассические
Логическая семантика
Логическая теория
Логическая форма
Логические ошибки
Логические связки
Логический атомизм
Логический вывод
Логический фатализм
Логическое противоречие
Логическое следование
Металогика
Метатеория
Метаязык
Метод семантических таблиц
Множество
Модальность
Модус
Обоснование
Определимость
Опровержение
Отношение
Отрицание
Парадокс
Подтверждение
Понятие
Предложение
Принцип многозначности
Проблема разрешимости
Программа интуиционизма
Программа логицизма
Программа формализма
Программа эффективизма
Противоречие
Равенство
Рассуждение
Рассуждения правдоподобные
Семантика возможных миров
Семантические категории
Силлогизм
Силлогистика
Смысл
Софизм
Суждение
Суждения аналитические
Теория именования
Теория множеств
Теория моделей
Теория нелинейных динамик
Теория семантических категорий
Термин
Тождество
Умозаключение
Эквиваленция
Энтимема

Базисные концепты

Новые концепты

Исследования:
Исследования государств
Исследования общества
Исследования образования
Исследования экономики
Исследования рынков
Исследования медиа
Энциклопедия:
Государства
Организации
Персоналии
Концепты
Тексты
Библиотека:
Гуманитарный базис
Гуманитарная мысль

Гуманитарный портал ISSN 2310-1792 About • Agreement • Terms

Что такое составное высказывание? хочется узнать сестрёнке ей 9

Из элементарных высказываний можно строить более сложные (составные) высказывания, используя связки И, ИЛИ, НЕ.

Примеры. Забор красный И забор деревянный.

Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя

Забор НЕ красный.

Смысл этих высказываний понятен.

Высказывание с И содержит два элементарных высказывания. Составное высказывание с И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба эти элементарные высказывания. Если хоть одно из них ложно, — составное высказывание ложно.

Высказывание с ИЛИ тоже содержит два элементарных высказывания. Составное высказывание с ИЛИ истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих элементарных высказываний. Если оба эти высказывания ложны, — составное высказывание ложно.

Высказывание с НЕ содержит одно элементарное высказывание (в русском языке НЕ часто ставится в середину этого высказывания). Составное высказывание с НЕ истинно, если исходное элементарное высказывание ложно и, наоборот, если исходное высказывание истинно, то составное высказывание с НЕ ложно.

Составные высказывания можно строить не только из элементарных высказываний, но и из других составных высказываний. В этом построение составных высказываний похоже на построение алгебраических выражений. Например, понятно, что означает такое высказывание (хотя оно написано не на русском языке, а с использованием скобок J )

(Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя) И (Коля НЕ старше, чем Ваня)

Здесь 3 элементарных высказывания.

§ 4. Логические операции И и ИЛИ

Логика высказываний позволяет строить составные высказывания. Они создаются из нескольких простых высказываний путем соединения их друг с другом с помощью логических операций НЕ, И, ИЛИ и др.

4.1. Логическая операция И

Определение истинности или ложности составного высказывания зависит от того, являются ли истинными или ложными простые высказывания, входящие в его состав, а также от той логической операции, которая их связывает.

Составное высказывание А И В, образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией И, истинно тогда и только тогда, когда А и В одновременно истинны (пример 4.1 и пример 4.2).

Операцию И называют логическим умножением. Равенства 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 0 · 0 = 0, верные для обычного умножения, верны и для логического умножения.

Представим таблицу истинности для логической операции И:

А И В

Если хотя бы одно из простых высказываний, связанных операцией И, будет ложным, то и составное высказывание будет ложным.

Для записи логической операции И используют следующие обозначения: A И B, A AND B, A · B, A * B, A ∧ B, A & B.

4.2. Логическая операция ИЛИ

Составное высказывание А ИЛИ В, образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией ИЛИ, ложно тогда и только тогда, когда А и В одновременно ложны (пример 4.3).

Другими словами, составное высказывание А ИЛИ В будет истинным, если истинно хотя бы одно из двух составляющих его простых высказываний (пример 4.4).

Таблица истинности для логической операции ИЛИ имеет следующий вид:

Операцию ИЛИ называют логическим сложением. Равенства 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, верные для обычного сложения, верны и для логического сложения.

Для записи логической операции ИЛИ можно использовать следующие выражения: A ИЛИ B, A OR B, A + B, A ∨ B, A | B.

Если в логическом выражении присутствует несколько логических операций, то важно определить порядок их выполнения. Наивысшим приоритетом обладает операция НЕ. Логическая операция И, т. е. логическое умножение, выполняется раньше операции ИЛИ — логического сложения (пример 4.5* и пример 4.6*).

Для изменения порядка выполнения логических операций используют скобки: в этом случае сначала выполняются операции в скобках, а затем — все остальные.

Логические операции И и ИЛИ подчиняются переместительному закону:

A И B = B И A ;

A ИЛИ B = B ИЛИ A .

Чтобы определить значение составного логического выражения, иногда достаточно знать значение только одного простого высказывания.

Так, если в составном высказывании с операцией И значение хотя бы одного простого высказывания является ложным, то и значение составного высказывания будет ложным. Если в составном высказывании с операцией ИЛИ значение хотя бы одного простого будет истинным, то и значение составного высказывания будет истинным (пример 4.7).

Данное высказывание является составным, поскольку оно содержит два простых высказывания:

«Число 456 трехзначное» (высказывание А) и «Число 456 четное» (высказывание В). Высказывания А и В соединены вместе логической операцией И, в результате получено составное высказывание А И B. Высказывание А истинно, высказывание В истинно. Поэтому высказывание А И B истинно: (А И B) = 1.

Пример 4.2. Высказывание А: «Геракл — герой древнегреческой мифологии». Истинно, А = 1.

Высказывание В: «Геракл — сын бога Зевса». Истинно, B = 1.

Высказывание А И В: «Геракл — герой древнегреческой мифологии И сын бога Зевса». Истинно, (А И В) = 1.

Пример 4.3. Проанализируем высказывание «Семиклас-сники изучают философию или астрономию».

Данное составное высказывание образовано из двух простых высказываний: «Семиклассники изучают философию» (высказывание А), «Семиклас-сники изучают астрономию» (высказывание В), которые связаны логической операцией ИЛИ. В результате получилось составное высказывание А ИЛИ B. Высказывание А ложно, высказывание В ложно. Поэтому высказывание А ИЛИ B ложно: (А ИЛИ B) = 0.

Пример 4.4. Высказывание А: «Франциск Скорина — белорусский первопечатник». Истинно, А = 1.

Высказывание В: «Стефан Баторий — турецкий султан». Ложно, B = 0.

Высказывание «Франциск Скорина — белорусский первопечатник, ИЛИ Стефан Баторий — турецкий султан» будет истинным, (А ИЛИ В) = 1.

Пример 4.5*.
Рассмотрим выражение: А ИЛИ B И НЕ С. Распишем по действиям вычисление значения логического выражения:

Значение высказывания F, полученное в 3-м действии, определит значение исходного логического выражения.

Пример 4.6*.
Пусть высказывание А = 1, B = 0, С = 0. Найдем значение логического выражения: А ИЛИ B И НЕ С.

Значит, при начальных значениях А = 1, B = 0, С = 0 значение логического выражения А ИЛИ B И НЕ С истинно.

Пример 4.7. Высказывание А: «Прогноз погоды обещает дожди». Высказывание В: «Сейчас на улице идет дождь».

Высказывание А И B будет ложным, если мы увидели, что на улице нет дождя (независимо от того, что обещал прогноз погоды).

1 В каких условиях составное высказывание А И В может быть истинным?

Если А истинно и В истинно.
Если А истинно, а В ложно.
Если А ложно, а В истинно.
Если А ложно и В истинно.

2 В каких случаях составное высказывание А ИЛИ В может быть ложным?

Если А истинно и В истинно.
Если А ложно и В ложно.
Если А ложно, а В истинно.
Если А истинно, а В ложно.

Упражнения

1 Определите, истинными или ложными являются нижеприведенные составные высказывания.

Мяч круглый, ИЛИ Земля плоская.
Кролики — домашние животные, И баобаб растет в Беловежской пуще.
Клавиатура — устройство ввода информации, ИЛИ винчестер — устройство вывода информации.
М. Ю. Лермонтов написал стихотворение «Парус», И И. А. Крылов написал басню «Квартет».
Сосна — хвойное дерево, И кедр — не хвойное дерево.
Процессор — устройство обработки информации в компьютере, ИЛИ наушники — не устройство ввода информации.
Континенты и острова — это большие участки суши.

2 О том, как прошли летние каникулы, Кира рассказала своим друзьям следующее:

Я была у бабушки в деревне, и рядом с деревней было озеро.
По озеру плавала лодка или утка.
Мы с бабушкой насобирали малины и смородины.
Я составила букет из цветов. В нем были ромашки или гвоздики.

Подготовьте к каждому из высказываний Киры рисунки, учитывая, что все высказывания истинны.

3 Откройте файл с рисунком и разложите грибы по корзинкам так, чтобы было истинным следующее высказывание: «В большой корзине все грибы съедобные, и в маленькой корзине все грибы несъедобные».

4 Откройте файл с рисунком и поставьте все цветы в вазы так, чтобы было истинным высказывание: «В синей вазе все цветы розы, или в красной вазе все цветы не красного цвета».

5* Найдите значения логических выражений, если А = 1, B = 1, С = 0, D = 0.