Как доказать что числа не взаимно простые

Доказать что числа 260 и 117 не взаимно простые

Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме 1. 260=2*2*5*13 117=3*3*13 Значит у чисел 260 и 117 есть общий делитель, равный 13 ⇒числа не являются взаимно простыми. 945=5*3*3*3*7 544=2*2*2*2*2*17 Как видно из разложения на множители у чисел 544 и 945 нет общих делителей, а значит они являются взаимно простыми.

Рекомендации Учи.Ответов

Разобраться с этим и другими вопросами поможет курс Учи.ру по математике для 9 класса

Пользователь 6 лет назад

Взаимно простые числа — это числа, которые не имеют общих делителей кроме единицы. Разложим числа 260 и 117 на простые множители. Простые множители — это те числа, которые имеют только два делителя, то есть делятся на единицу и сами на себя. Тогда разложение числа 260 на простые множители будет равно: 260 = 26 * 10 = 13 * 2 * 2 * 5. Разложение числа 117 на простые множители будет равно: 117 = 13 * 3 * 3. В полученных разложениях есть одинаковый множитель — это число 13, тогда числа 117 и 260 не являются взаимно простыми. Доказано.

Какие числа называют взаимно простыми

В окружающем нас мире и на уроках в школе люди постоянно оперируют различными числами. С их помощью выражают значения физических параметров, соотносят какие-либо величины между собой, дают характеристику объектам и явлениям. К примеру, уровень знаний ученика определяют путем выставления балла по заранее заданной шкале. Подобные способы оценки применяют повсеместно.

Ярким примером применения числовой шкалы является проведение различных социальных или маркетинговых опросов. Без чисел сложно представить жизнь и науку. При этом используют не только ряд о единицы до десятки, но и различные виды значений. В зависимости от характера решаемых задач подбирают тот или иной формат представления характеристик, данных, информации.

В числе областей хозяйственной деятельности, которые не обходятся без исчислений, присутствует индустрия информационных технологий, в частности, написание программного кода. В математике существуют множества чисел. При решении задач можно встретить величины, которые имеют целые или дробные значения, или, к примеру, являются иррациональными.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Если в перечисленных понятиях необходимо разбираться, то с простыми числами вопросов, как правило, не возникает. Однако термин не распространяется на все числа, с которыми человек сталкивается в повседневной жизни, ожидая трамвай нужного маршрута, проверяя таймер или баланс денежного счета. С целью исключить путаницу и подмену понятий лучше в первую очередь начать с терминологии.

Простое число представляет собой такое число, которое можно нацело поделить на единицу или на само себя.

В качестве типичного примера простого числа допустимо записать 13. Дело в том, что данное число является простым, а доказать это совершенно не сложно. Если проанализировать значение, то можно заметить возможность деления 13 на 1 или на 13. При поиске результата от частного 13 и других чисел получим результат с остатком. Из примера становится понятно, что простых чисел довольно мало, так как превалирующая часть числового множества делится на прочие числа нацело.

Важно помнить об отсутствии остатка в результате подобного деления. Когда со свойствами простого числа все стало понятнее, можно приступить к рассмотрению вопроса о взаимно простых числах. Данное определение распространяется не только на пары чисел, но и на большее количество подобных значений. Приведем ниже расшифровку термина.

Пара чисел а и b из множества целых являются взаимно простыми при равенстве их максимального общего делителя единице, то есть НОД (a, b) = 1.

Исходя из вышесказанного, стоит отметить, что взаимно простыми числами допустимо называть те, которые обладают единственным общим делителем со значением, равным единице. Подобная формулировка не менее важна, чем основная расшифровка термина, так как в распространенных случаях позволяет оперативно идентифицировать простейшие числовые значение в числовых последовательностях и совокупностях.

Свойства и признаки

Резюмируем, что при отсутствии каких-либо общих максимальных делителей у чисел, кроме единицы, такие числа допустимо считать взаимно простыми. Важно запомнить этот признак и уметь оперировать им в процессе решения задач. Однако задания на взаимно простые числа не всегда обладают очевидным способом поиска ответа.

Нередко встречаются примеры, где расчеты стоит начать со сложных математических преобразований для привидения чисел в нужных формат, который позволит выполнить сравнение или сделать вывод о том, что они взаимно простые. При этом можно упростить вычисления с помощью свойств, которыми обладают данные числа. Перечислим основные из них:

1. Числа из множества натуральных, которые являются взаимно простыми с некоторым натуральным числом n, допустимо задать с помощью функции Эйлера \(\varphi (n).\)
2. Числа a и b идентифицированы как взаимно простые лишь при существовании целых х и у с условием, что ax+by=1 (соотношение Безу).
3. При наличии взаимно простых чисел а и b допустимо говорить о том, что взаимно просты следующие числа \(2^-1 и 2^-1\) . Данное утверждение верно и в обратную сторону.
4. При наличии а в роли делителя умножения bc, являющегося взаимно простым числом для b, допустимо говорить о том, что а является делителем с.
5. При условии, что d= НОД (a,b) числа \(\frac и \frac \) являются взаимно простыми.
6. Дробь не представляется возможным сократить при наличии в числителе и знаменателе взаимно простых чисел.
7. Когда имеется пара взаимно простых чисел а и m, сравнение \(ax\equiv b<\pmod >\) для любого b обладает лишь одним решением по модулю m.
8. В том случае, когда пара целых чисел a и b определена как взаимно простые, справедливо следующее равенство: НОД (a⋅c, b)=НОД (c, b).

Как доказать, что числа взаимно простые

Когда в совокупности произвольная пара чисел является взаимно простой, подобные числа допустимо считать попарно взаимно простыми.

Стоит отметить, что применительно к большему количеству чисел важно помнить о взаимной простоте попарно простых чисел. Обратное утверждение уже будет неверным. В математике нередко встречаются задания на доказательство попарной и взаимной простоты каких-либо чисел. В процессе решения таких задач целесообразно использовать признаки и свойства, которые были изучены в теоретическом курсе ранее. Существуют еще важные условия, с помощью которых достаточно просто подтвердить или опровергнуть принадлежность заданных чисел к той или иной категории.

Когда числа \(a_1, \ldots\) , \(a_n\) являются попарно простыми, их минимальное общее кратное соответствует абсолютной величине произведения рассматриваемых чисел: \(|a_\cdot \ldots \cdot a_|;\)

Кроме того, для произвольного b из множества целых чисел справедливо следующее математическое соотношение:

\(НОД (a_\cdot a_\ldots a_,b)= НОД (a_,b) НОД(a_,b) … НОД(a_,b),\)

где НОД обозначает максимальный общий делитель для рассматриваемых чисел.

Таблица взаимно простых чисел

Упростить работу с взаимно простыми числами поможет табличная форма, изображенная ниже. Подобный инструмент полезен при решении задач, когда требуется выполнить разнообразные вычисления, сравнить простые числа, доказать их взаимную или попарную простоту. Пользоваться таблицей несложно. В любой из клеток расположен максимальный общий делитель ее координат, и соответствующие взаимно простым парам координат единицы выделены темным.

Задачи

Полученные знания и ценную информацию можно применять на практике. Попробуем справиться с решением нескольких типичных примеров. В процессе необходимо руководствоваться стандартным алгоритмом действий. На первом шаге полезно внимательно прочитать условия задания. После того, как сформировано представление о том, какой ответ требуется получить, можно приступать к разработке плана действий. Как правило, первоначальный анализ на возможность применения признаков, свойств или табличных значений существенно упрощает дальнейшие расчеты. В связи с этим, озвученным пунктом нельзя пренебрегать. Рассмотрим основные приемы для работы с простыми числами.

Имеется пара чисел 84 и 275. Необходимо подтвердить тот факт, что указанные числа взаимно простые.

В данном случае целесообразно воспользоваться табличной формой. Заметим, что в таблице указанные в условии задачи числа отсутствуют. По этой причине нужно обратиться к следующему методу доказательства, а именно, вычисления максимального общего делителя. Рассчитать искомое значение несложно с применением правила Евклида. Выполним пошаговые действия:

\(275 = 84 \cdot 3 + 23\)

\(84 = 23 \cdot 3 + 15\)

\(23 = 15 \cdot 1 + 8\)

\(15 = 8 \cdot 1 + 7\)

В результате получим, что максимальный общий делитель для пары чисел, состоящей из 84 и 275, обладает значением, равным единице. Таким образом, выполнено условие, характерное для взаимной простоты пары чисел.

Ответ: подтверждено, что 84 и 275 представляют собой пару взаимно простых чисел.

Дано несколько чисел: 331, 463, 733. Необходимо выяснить, допустимо ли считать перечисленные числа взаимно простыми.

Согласно информации, предоставленной в таблице простых чисел, 331, 463 и 733 представляют собой простые числа. Это позволяет сделать вывод о наличии для рассматриваемой тройки чисел лишь одного общего делителя со знаком плюс. Таким делителем является 1. В результате при выполнении перечисленных условий допустимо говорить о взаимной простоте исследуемых чисел.

Ответ: 331, 463, 733 относятся к категории взаимно простых чисел.

Требуется подтвердить, что числа −14, 105, −2 107 и −91 не являются взаимно простыми.

Вычислим для рассматриваемых числовых пар максимальный общий делитель, значение которого не должно совпадать с 1. С помощью свойства делителей для отрицательных и положительных чисел сформулируем следующее равенство:

НОД (−14, 105, 2 107, −91) = НОД (14, 105, 2 107, 91)

Выполним дальнейшие вычисления:

НОД (14, 105, 2 107, 91) = 7

Ответ: представленные в условии задания числа не являются взаимно простыми, так как их общий делитель отличен от единицы.

Таким образом, путем несложных вычислений и действенных приемов удалось справиться с тремя задачами. Заметим, что решение типовых примеров достаточно компактны и не занимают много времени. Это связано с корректным составлением алгоритма действий и умением применять свойства и табличные значения, характерные для простейших чисел, в практических условиях.

Насколько полезной была для вас статья?

Взаимно простые числа

Взаимно простые числа тема достаточно сложная тема 6 класса математики. Как и простые числа, тема взаимно простых чисел используется для сложения и вычитания дробей. Чтобы не допускать ошибок в этой теме разберемся в вопросе подробнее.

Простые числа

Что такое простое число? Простое число делится только на единицу и на само себя. Например, число 13 является простым, так как нацело делится только на 1 и на 13. Секрет в том, что практически каждое число можно разделить на другое число. Но в простых числах важно именно деление нацело, дробные частные и деление с остатком не рассматривается.

Простые числа в знаменателях дробей означают, что для нахождения общего знаменателя нужно перемножить эти числа между собой. Разложить простые числа на множители невозможно. Поэтому НОД двух простых чисел это их произведение.

Числа, которые содержат в себе больше двух множителей, то есть делятся на несколько чисел, называются сложными. Сложные числа состоят из перемноженных простых.

Взаимно простые числа

Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен единицы. Доказать факт того, что числа являются взаимно простыми можно только с помощью разложения чисел на простые множители. Если у чисел нет общих множителей, кроме 1, то они будут взаимно простыми.

При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.

Нужно учитывать, что взаимно простыми могут быть не только два числа, но и 3, 4, 10 – любое множество чисел может быть взаимно простым.

Как определить взаимно простые числа?

Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:

• Разложить каждое из чисел на множители и искать общие простые множители. Если такие есть, то числа не являются взаимно простыми. Если общих множителей нет, числа можно считать взаимно простыми.
• Делить каждое из чисел поочередно на простые множители. Этот способ проще в исполнении, так как не требует большой внимательности и сосредоточенности. Но такая проверка не подойдет для больших чисел, слишком долгой может получится проверка. Поэтому более надежным будет использовать первый вариант.

Относительно друг друга два простых числа всегда будут взаимно простыми. А если одно из чисел, делится на другое нацело, то эти числа точно не являются взаимно простыми.

Пример

Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282

Определение начинается с разложения на множители:

Обратите внимание, что для разложения таких чисел придется использовать метод перебора. Согласно таблице простых чисел каждый множитель проверяется, после чего деление продолжается. Подбирать множители нужно от маленьких чисел к большим, то есть от 2 и выше.

Как видно, общих множителей у двух чисел нет. Это значит, что числа можно считать взаимно простыми. Не нужно пугаться, если среди множителей попадаются достаточно большие числа. Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку. На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой

Что мы узнали?

Мы поговорили о простых числах. Выяснили, что такое взаимно простые числа и обговорили некоторые их свойства. Привели примеры взаимно простых чисел. Обговорили неправильные мнения по поводу простых и взаимно простых чисел.

Взаимно простые числа: определение, примеры и свойства

Эта статья – экскурс в мир математики и взаимно простых чисел. Но не стоит их путать с «простыми». Далее вы узнаете почему взаимно простые числа являются простыми, чем они отличаются и для чего они нужны. Будут рассмотрены все характеристики и особенности взаимно простых чисел. Все свойства и особые случаи будут рассмотрены на наглядных примерах. Шаг за шагом мы подойдем к доказательствам и рассмотрим такую вещь, как попарно простые числа.

Что такое взаимно простые числа?

Определение

Взаимно простым числом называют целое число, которое имеет с другим числом наибольший общий делитель – 1 (единицу).

Возьмем 2 простых числа и определим их, как a и b. Взаимно простыми будут те числа, которые имеют 1, как наибольший общий делитель (НОД). (a, b) = 1

У двух взаимно простых чисел будет один положительный общий делитель. И делитель будет равен 1. Только два таких числа имеют два общих делителя 1 и -1.

Пример 1:

Простым примером взаимно простых будут числа 5 и 11. Почему? Давайте посмотрим на делители этих чисел: 5 делится на 5 и на 1, а число 11 можно разделить на 11 и на 1 (без остатка). Общим положительным делителем этих двух чисел будет единица. Единица – самый большой общий делитель двух чисел – значит, что они будут взаимно простые.

Но не только простые числа могут быть взаимно простыми по отношению друг к другу. Условие взаимной простоты образуется и между составными числами.

Определение

Составное число – число, делители которого отличаются от самого числа и единицы).

Ситуаций, где в паре чисел одно является простым, а второе составным, или оба являются составными – не редкость. И мы научимся с ними работать.

Пример 2:

Возьмем для примера два числа: -9 и 8. Мы утверждаем, что они образуют взаимно простую пару. Так ли это? Давайте проверим. Для того, чтобы это доказать (или опровергнуть) нужно найти их общий делитель. Распишем делители каждого из чисел в ряд:

Для числа 8 делителями будут: ±1, ±2, ±4, ±8;
Для числа 9 делителями будут: ±1, ±3, ±9.

Выбираем из рядов делителей общий и самый большой: ±1. Из этого следует, что, если наибольший общий делитель (НОД) чисел 8 и -9 это единица, то они взаимно простые друг к другу.

А вот числа 45 и 500 не будут таковыми. Почему? Помимо единицы, они имеют еще один общий делитель 5, и он больше единицы (вспоминаем правило про наибольший общий делитель). 5 больше 1, значит о взаимной простоте чисел не может быть и речи.

Аналогичная ситуация с числами 201 и 3. Если расписать все из общие делители, то там будет число 3. А 3 больше 1, значит и в этой ситуации нет взаимной простоты между числами.

Как показывает практика, решение задач на определение взаимной простоты встречаются часто и не только в школьных учебниках. Вся их суть сводится к одному: поиск наибольшего общего делителя этих чисел и сравнение его с единицей. Расписывать все делители будет очень проблематично, в некоторых случаях. Например, число 234 567. Для упрощения задачи есть несколько вариантов:

• Использование таблицы простых чисел. Если одно из чисел в ней есть, то оно простое и делится на себя и единицу;
• Алгоритм Евклида.

Разберем решение таковой задачи на примере.

Нет времени решать самому?