Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника
Чтобы найти ортоцентр треугольника, можно воспользоваться калькулятором, где следует внести координаты. В автоматическом режиме с помощью формул произведется расчет. Можно также все расчеты произвести самостоятельно.
Например, имеются следующие данные точек:
А – 4,3;
В – 0,5;
С – 3,-6.
Первое , что необходимо найти наклон сторон, который обозначается — m , используется формула :
Из этого следует:
Далее необходимо найти наклон перпендикулярных сторон, для этого используется формула:
Имеем:
Когда найден наклон перпендикуляров, можно использовать уравнение линий, например, для линии AD, где точка 4,3, а наклон равен 3/11: y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)
С помощью упрощения, имеем: 3х — 11у=-21
Для линии ВЕ, где точка 0,5, а наклон -1/9, имеем
Упрощение дает: х+9у=45.
И последние линии CF, где точка 3, -6, а наклон 2, имеем уравнение y+6 = 2(x-3).
И упрощение, 2x — y = 12.
Если решить два из трех уравнений будут найдены значения х и у. Для данного примера:
Значение х = 8,05263;
Значение у = 4,10526.
Которые в данном случае являются координатами искомого Ортоцентра.
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
Найти ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника
Всем привет нужна помощь. Нужно найти ортоцентр(точка пересечения высот) треугольника. Даны координаты вершин.
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:
Найдите точки пересечения высот и медиан треугольника
Найдите точки пересечения высот и медиан треугольника, вершины которого расположены в точках (x1.
Найти наибольшую из высот треугольника
Последние задачи семестра, помогите пожалуйста. Функции, параметры функций Определить три.
Даны координаты двух вершин треугольника и точка пересечения его высот
2. 4. Даны координаты двух вершин треугольника А(А1, А2) и В(В1, В2), и точка пересечения его высот.
Найти точку пересечения высот треугольника АВС
найти точку пересечения высот треугольника АВС
495 / 377 / 136
Регистрация: 27.01.2015
Сообщений: 1,588
Это геометрия, а не программирование
http://www.kakprosto.ru/kak-10. reugolnike
Регистрация: 01.09.2015
Сообщений: 3
Ну, допустим, я пытался этим способом.
(-1/k2)×(x−xa)+ya = (-1/k1)×(x−xb) + yb
Не выходит вывести отсюда x
13278 / 10594 / 6328
Регистрация: 18.12.2011
Сообщений: 28,283
Сообщение от saninstein 
Не выходит вывести отсюда x
Это же обычное квадратное уравнение:
Регистрация: 01.09.2015
Сообщений: 3
Пардон, там не x-ы а знаки умножения:
13278 / 10594 / 6328
Регистрация: 18.12.2011
Сообщений: 28,283
А это вообще линейное уравнение
(k2-k1)x+k1xa-k2xb+k1k2(ya-yb)=0
Вот уже и линейные уравнения «не выходят» 🙁 Скоро таблица умножения перестанет выходить.
| Меню пользователя zer0mail |
| Читать блог |
Регистрация: 06.02.2022
Сообщений: 20
Пусть A(xa, ya), B(xb, yb), C(xc, yc) – три вершины треугольника. Проведем высоты AK и BL. Точка их пересечения H будет искомой.
Напишем уравнение прямой AK: она должна проходить через вершину A и быть перпендикулярной прямой BC. Пусть уравнение прямой AK имеет вид a1x + b1y = c1. Тогда вектор (a1, b1) совпадает с направлением вектора BC и можно положить (a1, b1) = (xc – xb, yc – yb). Уравнение прямой AK примет вид:
(xc – xb)x + (yc – yb)y = c1
Поскольку прямая AK проходит через точку А, то подставив в ее уравнение координаты точки A(xa, ya), найдем значение c1:
(xc – xb) xa + (yc – yb) ya = c1
Аналогично находим уравнение прямой BL. Пусть оно имеет вид a2x + b2y = c2. Вектор (a2, b2) совпадает с направлением вектора АC и можно положить (a2, b2) = (xc – xa, yc – ya). Точка B лежит на прямой BL, следовательно
(xc – xa) xb + (yc – ya) yb = c2
Точка пересечения высот треугольника находится решением системы уравнений
Добавлено через 2 минуты
Реализация алгоритма:
Сначала вводишь координаты вершин треугольника и наслаждаешься))
Пример ввода:
0 0
3 0
0 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
#include #include #include #include using namespace std; void Kramer(double a1, double b1, double c1, double a2, double b2, double c2, double &x, double &y) { double prost, prost_x, prost_y; prost = a1 * b2 - a2 * b1; prost_x = c1 * b2 - c2 * b1; prost_y = a1 * c2 - a2 * c1; x = prost_x / prost; y = prost_y / prost; } int main() { double Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy, BC, AC, AB, Px, Py, A1, B1, C1, A2, B2, C2; cin >> Ax; cin >> Ay; cin >> Bx; cin >> By; cin >> Cx; cin >> Cy; A1 = Cx - Bx; B1 = Cy - By; C1 = Ax * (Cx - Bx) + Ay * (Cy - By); A2 = Cx - Ax; B2 = Cy - Ay; C2 = Bx * (Cx - Ax) + By * (Cy - Ay); Kramer(A1, B1, C1, A2, B2, C2, Px, Py); cout fixed setprecision(10); cout Px " " Py; return 0; }
Ортоцентр треугольника
Перпендикуляр, проведенный из любой вершины треугольника на противолежащую ей сторону, будет его высотой, а сторона — основанием. Если из каждой вершины треугольника провести высоту, то точка пересечения этих высот (с возможным их продлением) является ортоцентром треугольника, как правило, обозначается Н.
Высоту треугольника (h), опущенную на сторону а можно определить через сторону и угол: ha = csinβ = bsinγ, где а — основание треугольника, b, с — стороны, β, γ — углы прилежащие к основанию.
Также длину высоты можно вычислить через радиус описанной окружности R и стороны (b, с) / h = (b · с) / 2R.
Исходя из вида треугольника ортоцентр может располагаться:
- внутри треугольника (в случаях с остроугольными треугольниками);
- за его пределами (в тупоугольных треугольниках, где один угол больше 90);
- совпадать с вершиной прямого угла, если треугольник прямоугольный.
Ортоцентр треугольника и любая из его вершин будут ортоцентром треугольника, вершины которого находятся в остальных трех точках. Эти четыре точки считаются ортоцентрической системой точек. У окружностей, проведенных через 3 точки данной системы, радиусы равны.
Ортоцентр остроугольного тр-ка служит центром вписанной в его ортотреугольник окружности.
Центр описанной около треугольника окружности является ортоцентром треугольника, вершины которого расположены в серединах сторон данного тр-ка.
На прямой Эйлера располагается центр описанной окружности, центроид и ортоцентр треугольника.
Отрезок от вершины до ортоцентра (Н) в 2 раза больше отрезка от центра описанной окружности (О) до стороны, противоположной вершине.
Сумма квадратов отрезка от вершины до ортоцентра и стороны, расположенной против этой вершины, равняется учетверенному квадрату радиуса описанной окружности ® .
Пусть отрезок АН соединяет вершину А треугольника АВС с ортоцентром Н, а сторона а противолежит этой вершине, тогда: АН 2 + а 2 = 4 R 2 .
С помощью калькулятора можно быстро вычислить ортоцентр треугольника.
Ортоцентр треугольника
Ортоцентр треугольника – точка, в которой пересекаются высоты, опущенные из каждой вершины треугольника.
Эта точка может находиться внутри треугольника (если треугольник остроугольный), вне треугольника (если треугольник тупоугольный) или этот центр может накладываться на вершину треугольника (в прямоугольном треугольнике).
Работа с калькулятором
Необходимо указать координаты трех точек А, В и С – вершин треугольника. Координаты могут быть положительными, отрицательными, а также они могут быть представлены в виде десятичной дроби.
Результат:
В результате калькулятор выводит через запятую координаты ортоцентра треугольника с точностью до пяти знаков после запятой, если это необходимо.
Пример работы калькулятора:
Если координаты по оси абсцисс (X) равны 1, а по оси ординат (Y) 0, то вывод будет «1,0».