Как разложить куб и четвертую степень синуса и косинуса
Эти формулы позволяют выразить квадрат любой тригонометрической функции через косинус двойного угла.
Для более высоких степеней можно использовать следующие формулы:
- sin3α = (3 sin α – sin 3α) / 4,
- cos3α = (3 cos α + cos 3α) / 4,
- sin4α = (cos 4α – 4 cos 2α + 3) / 8,
- cos4α = (cos 4α + 4 cos 2α + 3) / 8.
Foto:
YouTube
Редактировать
Комментариев: 0
Введите Ваше имя (nickname)
Ещё Как разлож
Как разложить на множители разность неотрицательных величин | Вопрос и Ответ
В алгебраических выкладках нередко возникает необходимость представить разность квадратов в виде произведения сомножителей. Это можно сделать, .
Как разложить квадрат синуса, косинуса и тангенса | Вопрос и Ответ
Тригонометрические формулы понижения степени: sin2α = (1 – cos 2α) / 2, cos2α = (1 + .
Как разложить куб и четвертую степень синуса и косинуса | Вопрос и Ответ
Тригонометрические формулы понижения степени: sin2α = (1 – cos 2α) / 2, cos2α = (1 + .
Разложение sin^3(x) в ряд Тейлора
Привет, ребята
Есть вот такая вот формула ряда и есть такой вот код, нужно вычислить синус в кубе сначала через формулу ряда Тейлора (суммирование прекращать, когда очередное слагаемое станет по модулю меньше заданной точности), а потом просто через стандартную функцию sin в с++. Но у меня при разложении в ряд получается число, которое сильно отличается от стандартного значения, в чем может быть проблема?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
#include #include #include int main() { using namespace std; setlocale(LC_ALL, "Russian"); // Погрешность double eps = 1e-15; // Число итераций int count_iteration = 1; // Аргумент функции double x; // Сумма ряда double sum_of_series; // Текущее слагаемое double summand; // Стандартная функция double standard; double pogr; double i=3; double l=6; cout "\nВведите аргумент функции в градусах: "; cin >> x; x = x*3.141592653589793238463/180; sum_of_series = -(pow(x,3))*8/6; // Сумма ряда summand = (pow(x,3))*8/6; // Текущее слагаемое cout "\n\nЗначение аргумента в радианах: " xendl; cout "Первое слагаемое = " sum_of_seriesendl; for(int n=1; abs(summand)>eps; n+=1) { summand = pow(-1,n)*(pow(3,2*n)-1)*pow(x,2*n+1)/l; sum_of_series += summand; count_iteration += 1; i=i+2; l=l*(i-1)*i; cout endl "Слагаемое = " summand endl; cout "Сумма ряда: " sum_of_series endl; cout "Номер слагаемого: " count_iterationendl; } sum_of_series = sum_of_series*0.75*(-1); standard = pow(sin(x),3); pogr = abs(sum_of_series - standard); cout "\n\nЗначение аргумента в радианах: " x; cout "\n\nЗначение из нестандартной функции: "; printf("%.15f", sum_of_series); cout "\n\nЗначение из стандартной функции: " standard; cout "\n\nПри " count_iteration " вычисляемых слагаемых погрешность равна: " pogr; return 0; }
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:
Разложение sin(x) в ряд Тейлора
Всем доброго время суток! Проверьте пожалуйста правильный ли следующий код : #include <cmath>.
Вычислить sin(x) с заданной точностью через разложение в ряд Тейлора
нужна ваша помощь. используя разложение в ряд тейлора, найти значение sin(x) с заданной.
Вычисление функции через разложение в ряд (Ряд Тейлора)
Привет всем. Задание такого плана: Вычислить и вывести на экран в виде таблицы значения.
Разложение ряд в ряд Тейлора.Переделать программу
Написать программу вычисления и вывода на экран в виде таблицы значений функции, заданной с помощью.
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь
Разложение в ряд Тейлора
Добрый вечер. Никак не могу понять, как написать формулу для разложения в ряд Тейлора на C++.
Разложение в ряд Тейлора
Вычислить указанную функцию с помощью разложения в ряд. Использование встроенного факториала С/С++.
Разложение в ряд тейлора
У меня есть программа разложения в ряд тейлора и блок схема к ней какие параметры нужно задать.
Формулы понижения степени в тригонометрии
Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.
Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .
Формулы понижения степени, их доказательство
Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.
sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α — sin 3 α 4 sin 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8
Данные формулы предназначены для понижения степени.
Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .
Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.
Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α и cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .
Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:
sin 3 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .
Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .
Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:
sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 — cos 2 α 2 ) 2 = 1 — 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 — 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8
Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .
Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид
sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .
C p q = p ! q ! · ( p — q ) ! — это число сочетаний из p элементов по q .
Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 2 2 — k k = 0 n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим
sin 3 α = 1 2 3 — 1 · ∑ ( — 1 ) 3 — 1 2 — k k = 0 3 — 1 2 — k · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( — 1 ) 1 — k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 — 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 — 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 — 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 — 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( — 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 — 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( — sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α — sin 3 α 4
Примеры применения формул понижения степени
Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.
Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .
Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .
По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .
Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( — 1 2 ) 8 = 9 16
Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.
При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .
Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α — sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .
Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .
Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .
Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.
Белая функция или квадратичный косинус «наступает»
Задача: Найти функцию для графика (бесконечного в обе стороны оси ОХ):
Ограничения: Должны использоваться только тригонометрические функции (любые прямые и обратные) и знаки операций плюс, минус, разделить, умножить, модуль. Решение должно быть представлено одной формулой.
Подсказка: Раздумывая над этой задачей, мне попалось на глаза видео о так называемой квантовой запутанности фотонов. Я подумал, что фотон все же в большей мере волна, чем частица, поскольку частицей он определяется при определенных условиях, связанных с измерением состояния фотона, в остальных случаях — это волна. А где волна там обязательно должны быть тригонометрические функции косинуса и синуса, как минимум. Поэтому я подумал, что скорей всего вполне возможно, что есть вероятность создать «запутанную пару» от аргумента x для какой-то неизвестной функции с использованием только тригонометрических функций. Как ни странно, но именно поиск этой неизвестной функции, привел меня к решению поставленной выше задачи.
Решение задачи о поиске функции для квадратичного косинуса
Некоторые люди на форуме говорили мне, что решения этой задачи не может существовать, поскольку квадратное и круглое друг другом не представляется (как я это понял), но немного поэкспериментировав с построением графиков на WolframAlpha, решил, что это в корне неправильный подход. Как потом выяснилось, все дело как раз в «квантовой запутанности». Но обо всём по порядку.
Как смоделировать запутанность? У нас есть прямые и обратные тригонометрические функции, есть переменная x-фотон и несколько тривиальных операций. Первое что приходит на ум (по крайне мере мне) это рассмотреть графики функций ArcSin[Cos[x]] и ArcCos[Sin[x]]: 
Приведенные графики уже очень напоминают нужный нам «квадратичный косинус», но чего-то не хватает, оказывается не хватает «запутанности», то что мы сделали — это по сути запутанность первого уровня, но этого не достаточно, нужно эти две функции как-то скомпоновать, выйдя на запутанность второго уровня. После нескольких экспериментов с доступными тривиальными операциями я остановился на делении и вот что получилось (рис. 4):
Именно здесь я понял, что не потерялся в запутанности x-фотона и все как раз проясняется.
Казалось бы, наполовину задача решена и остается тупо скопировать решение в две формулы вида:
Но мне хотелось всё представить одно формулой и поиски продолжились…
Поэтому пришлось анализировать график, представленный на рис.4. Что в нем примечательного?
Во-первых, наполовину квадратичность присутствует, но нужно избавиться от этих восходящих линий. Как этого добиться? Только «аннигиляцией», то есть самоуничтожением противоположностей. И как раз здесь нам и понадобится модуль, чтобы у нас были симметричные плавно восходящие и нисходящии линии. Поэтому я рассмотрел такой график:
Казалось бы, маленькое отличие — модуль, но большая разница — теперь мы имеем симметричные (относительно начала координат) восходящие и нисходящии линии, которые достаточно «сложить» и они превратятся в квадрат… Но складывать их не нужно, достаточно еще одного модуля уровнем выше:
Что и требовалось доказать.
y=ArcSin[Cos[x]]/ArcCos[Abs[Sin[x]]]я назвал «белая функция«, поскольку она настолько же идеальна и гармонична, как и белый цвет. Белая функция представляет собой сложную функцию-модель квантово-запутанной саму с собой пару от аргумента x. Белая функция к тому же определяет собой целый класс одноименных тригонометрических функций вида
y=ArcSin[f1[x]]/ArcCos[Abs[f2[x]]]например, к этому виду можно также отнести функцию
y=ArcSin[1/Tan[x]]/ArcCos[Abs[Tan[x]]]Исходники в формате Wolfram Mathematica — yadi.sk/d/3pl0lZMH3PzxCU
Оценка погрешности найденного решения
Для оценки точности я решил посчитать для белой функции площадь под графиком в окрестности точки Pi/2 с отрицательной стороны. И вот что получилось:
Evaluate[Integrate[ ArcSin[Cos[x]]/ArcCos[Abs[Sin[x]]], ]]
Здесь я думаю меня сочтут полным профаном, но я всё таки скажу, что это означает.
Очевидно по результату в пределе действительная часть стремится к бесконечность, а мнимая к нулю то есть ∞+0.0*i
Что это может означать? Какой смысл в действительной части и мнимой? Я думаю, что действительная часть пропорциональна точности
(в чем легко убедиться увеличивая количество нулей в формуле выше для приближения к точке Pi/2), а мнимая часть пропорциональна погрешности вычисления и эта погрешность стремиться к нулю в пределе.
Посему заключаем, что найденная формула белой функции делает возможным расчет с управляемой точностью, что не может не радовать. Но как такое возможно? Ответа у меня нет — думайте своей головой.
Проблема в комментариях рассматривается достаточно подробно, но особое место в вопросе белой функции занимает точка Pi/2, фольфрамальфа рисует это так: 
Но нужно понимать, что это приближение, идеально в пределе там вертикальная линия и разрыва нет: 
дорисовано красным то, что компьютер не может рассчитать!
Интересно, что в точках состыковки синего и красного y=+-Sqrt[2]/2
Другие способы решения
Очевидно, эти способы не идут не в какое сравнение с найденным решением по точности и производительности, нет необходимости в сложении сотен косинусов, как это делает ряд Фурье.
PS В комментариях найдено еще одно решение с помощью комплексных чисел и числа E: Cos[Arctan[E^(I*x)]]/Sin[Arcctg[E^(I*x)]], которое с большой точностью даёт решение.
Разное
Моделирование форм с помощью найденной функции
Тривиальный пример, куб:
a[x_] := ArcSin[Cos[x]]/ArcCos[Abs[Sin[x]]]; (*белая функция*) b[y_] := ArcSin[Cos[y]]/ArcCos[Abs[Sin[y]]]; (*белая функция*) c[z_] := ArcSin[Cos[z]]/ArcCos[Abs[Sin[z]]]; (*белая функция*) f[x_, y_] := a[x]*b[y]; time[t_] := c[t]; z = Table[ Plot3D[10*move*(1 + f[x, y]*time[move]), , , PlotRange -> ], ]; z = Join[z, Reverse[z]]; Export["C:\\out.gif", z, "AnimationRepetitions" -> Infinity]
- задача
- математика
- тригонометрические функции
- белая функция