4. Признаки прямоугольника и квадрата
1. Если три угла четырёхугольника прямые, то этот четырёхугольник является прямоугольником.
2. Если один угол параллелограмма прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.
3. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признаки квадрата
С помощью этих признаков можно определить, является ли прямоугольник или ромб квадратом .
1. Если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.
2. Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
3. Если один из углов ромба прямой, то этот ромб является квадратом.
4. Если диагонали ромба равны, то этот ромб является квадратом.
Признаки, Свойство и Определение Квадрата
Квадрат — это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.
Диагональ квадрата — это отрезок, соединяющий две
его противоположные вершины.
Свойства квадрата
В квадрате:
- Длины сторон квадрата равны.
- Все углы квадрата прямые.
- Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.
- Сумма всех углов квадрата равна 360 ° .
- Центр описанной и вписанной окружности — точка пересечения диагоналей квадрата.
- Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.
Признаки квадрата
С помощью признаков квадрата можно доказать, что четырехугольник — квадрат.
- По сторонам и углу 90 ° :
Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов 90 ° , то это квадрат. - По диагоналям:
Если диагонали четырехугольника равны, перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения, то это квадрат. - По ромбу:
Если в ромбе все углы прямые, то это квадрат. - По прямоугольнику:
Если в прямоугольнике все стороны равны, то это квадрат. - По параллелограмму:
Если в параллелограмме все стороны и углы равны, то это квадрат.
Квадрат — определение и свойства
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.
Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.
Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.
Перечислим свойства квадрата:
- Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
- Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен:
Площадь квадрата равна квадрату его стороны: .
Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на , то есть
.
Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC.
Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора:
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:
Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках
P, M, N, K.
Тогда поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть
, что и требовалось доказать.
Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали:
Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность.
Тогда , что и требовалось доказать.
Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей:
Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:
- Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
- Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.
Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.
Задача 1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .
Мы знаем, что . Тогда .
Задача 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.
Первый способ решения:
Зная связь между стороной и диагональю квадрата (теорема 1), выразим сторону квадрата через его диагональ:
Тогда по формуле площади квадрата:
Второй способ решения:
Воспользуемся формулой для площади ромба:
Задача 3. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .
Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому
Задача 4. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .
Диаметр окружности равен стороне квадрата: .
Задача 5. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите диагональ этого квадрата.
Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной окружности:
Диагональ найдем, зная сторону квадрата:
Задача 6. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата, а радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:
Задача 7. Найдите периметр квадрата, если его площадь равна 9.
Найдем сторону квадрата:
Периметр квадрата со стороной 3 равен:
Задача 8. Найдите площадь квадрата, в который вписан круг площадью .
Площадь круга откуда радиус круга равен 2.
Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанного круга и равна 4. Площадь квадрата равна 16.
Задача 9. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными .
Сторону квадрата найдем как диагональ другого квадрата со стороной 2 клеточки. Поскольку длина одной клеточки равна ., то сторона малого квадрата равна . А сторона квадрата ABCD равна
Радиус вписанной окружности в два раза меньше стороны квадрата и равен 2.
Задача 10. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите .
Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABCD — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.
Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB.
Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Квадратu0026nbsp;u0026mdash; определение иu0026nbsp;свойства» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 04.11.2023
как докозать что квадрат — это квадрат.
Провести две диагонали . найти их точку пересечения и провести две окружности.. .
радиус первой окружности должен быть равен расстоянию от точки пересечения диагоналей до одной из вершин исследуемой фигуры,
радиус второй окружности должен быть равен расстоянию от точки пересечения диагоналей до соседней вершины той же фигуры.. .
Если обе окружности совпадут, то исследуемая фигура является квадратом.. .
Поскольку вам надо доказать, что квадрат это квадрат, то вспомнив свойство диагоналей квадрата, что диагонали у такой фигуры равны и пересекаются под прямым углом, можно прийтти к заключению, что радиусы окружностей тоже равны, а все точки одной из них совпадают со всеми точками другой.
Остальные ответы
у квадрата должны быть равны все стороны
все стороны равны, и все углы по 90 градусов. -так и напиши.
все четыре стороны оного размера. Все четыре угла 90 градусов. Диагонали равны, это пожалуй основнй признак.
Прямоугольник, у которого все 4 угла- прямые, а стороны равны, называется квадрат.
Если под ним написано «Малевич» и он черного цвета, то доказано-квадрат
Точно так же как круг доказать что он круг
квадрат — это квадрат, если это параллелограмм у которого один из углов прямой