Изолированные особые точки и их классификация. Примеры
Пусть функция f(z) аналитична в некоторой окрестности точки z = a и не аналитична в самой точке a . Тогда точка z = a называется изолированной особой точкой функции f(z) .
Особые точки могут быть и не изолированными: например, функция f(z) = 
имеет в сколь угодно малой окрестности точки
z = 0 точки zn = 
, в которых знаменатель 
функции f(z) обращается в нуль, и, следовательно, нарушается аналитичность функции f(z) . Кроме того, к неизолированным особым точкам относятся точки ветвления (например, z = 0 у функций 
и Ln z ), в окрестности которых функция не имеет ни одной аналитической ветви (т. к. обход вокруг точки ветвления приводит к переходу с одной ветви на другую).
18. Изолированные особые точки
Напомним определение. Точка называется особой точкой аналитической функции , если в ней аналитичность ее нарушается.
Определение 2. Точка называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки с исключенной точкой , в которой аналитична, кроме самой точки .
Существует три типа изолированных особых точек. Приведем их определения.
Определение 3. Точка называется устранимой особой точкой , если разложение ее в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит главной части.
Определение 4. Точка называется полюсом кратности N функции, если в разложении ее в ряд Лорана в окрестности точки главная часть содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является .
Определение 5. Точка называется существенно особой точкой функции , если главная часть ее разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.
Приведем критерии типа изолированных особых точек.
1) для того, чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы .
2) для того, чтобы точка была полюсом кратности N функции, необходимо и достаточно, чтобы , .
3) для того, чтобы точка была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы .
Полезна следующая теорема. Для того, чтобы точка была полюсом порядка N функции, нужно, чтобы она была нулем N — го порядка функции (связь между нулями и полюсами).
Пример 1. Для функции особой точкой является . Имеем — есть устранимая особая точка.
Пример 2. Для функции является особой точкой. Так как — это полюс. Так как для функции т. является нулем пятого порядка, то — полюс пятого порядка функции .
Пример 3. Для функции является особой точкой. Разложение в ряд Лорана: в главной части содержит бесконечное число членов: это существенно особая точка.
Пример 4. Найти все особые точки функции и определить их характер.
Решение. Особыми точками являются точка и точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Имеем , откуда , причем эти точки являются нулями первого порядка. Следовательно, в точках , функция имеет простые полюса. Точка не является изолированной особой точкой, так как она является пределом полюсов: : это означает, что любая окрестность точки содержит бесконечное число особых точек .
Задачи для самостоятельного решения
У нижеследующих функций найти нули и определить их порядки:
132. . 133. . 134. . 135. . 136. .
Найти порядок нуля для следующих функций:
138. . 139. . 140. .
Определить характер особой точки для следующих функций:
142. . 143. . 144. .
Найти особые точки и определить их характер у следующих функций:
145. . 146. . 147. . 148. . 149. .
150. . 151. . 152. . 153. .
- Главная
- Заказать работу
- Стоимость решения
- Варианты оплаты
- Ответы на вопросы (FAQ)
- Отзывы о нас
- Примеры решения задач
- Методички по математике
- Помощь по всем предметам
- Заработок для студентов
Изолированные особые точки функций и полюсы
Важное место в изучении и применении теории функций комплексного переменного занимает исследование их поведения в особых точках, где нарушается аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена.
Исследование функции в особой точке определяется поведением ее в окрестности этой точки, т.е. исследованием . Очевидно, имеют место три возможности:
а) не существует;
б) существует и равен конечному числу;
в) равен бесконечности.
Исследование пределов функции в комплексной области — задача более сложная, чем в действительной области, так как, согласно определению, переменная стремится к по любому направлению. Вычисление пределов в точках аналитичности не представляет интереса, так как в этих случаях .
Будем рассматривать , где — особая точка.
Пример 4.1. Исследовать существование в случаях a) .
a) В действительной области не существует, так как не равны односторонние пределы , но существует предел второй функции: .
б) В комплексной области, очевидно, не существует, так как он не существует в частном случае .
Но для второй функции полученного выше результата не достаточно, так как рассмотрены только два направления на плоскости — по действительной положительной и действительной отрицательной полуосям.
Рассмотрим еще какое-нибудь направление, например по мнимой оси, т.е.
Сравнивая этот результат с полученным выше , заключаем, что в комплексной области не существует.
Аналогично можно показать, что не существует , хотя для случаев и (по действительной и мнимой осям).
Эти простые примеры показывают, что исследование функции в особой точке с помощью может представлять большие сложности. Но, с другой стороны, в примере 3.36 при вычислении пределов функции в особых точках было использовано разложение функции в ряд.
Представление функции в виде ряда как один из способов ее аналитического задания, может быть использовано для исследования функции, в частности, в особых точках.
Будем рассматривать изолированные особые точки функций, т.е. особые точки, для каждой из которых существует такая ее окрестность, в которой нет других особых точек функции.
В частности, конечная особая точка является изолированной особой точкой функции , если существует число эта точка- единственная особая точка , а в проколотой окрестности, т.е. в функция аналитическая.
Бесконечно удаленная особая точка является изолированной особой точкой функции , если существует число , такое, что в области эта точка — единственная особая точка , а в кольце функция — аналитическая.
Согласно теореме Лорана, функция, аналитическая в кольце, в частности, в проколотой окрестности особой точки, может быть представлена рядом Лорана. Это позволяет свести исследование функции в изолированной особой точке к исследованию соответствующего ряда. Особенности рядов как представления аналитических функций можно заметить, проанализировав некоторые примеры предыдущих лекций.
Пример 4.2. Исследовать поведение и вид ряда Лорана в окрестности особой точки ; б) ; в) .
Так как особая точка является отсутствие главной части в разложении ее в окрестности точки .
б) Для функции в соответствующем разложении главная часть содержит одно слагаемое, а предел функции равен бесконечности, . Этот результат можно обобщить: главная часть разложения функции по степеням содержит конечное число слагаемых:
и функция может быть записана в виде , а поэтому .
Типы особых точек функции
В зависимости от трех случаев поведения функции в особой точке (исследования ) особые точки функций делят на три типа — производится классификация особых точек. В качестве определения типа особых точек можно выбрать либо поведение функции в особой точке, либо вид ряда Лорана. Выберем первый подход.
Изолированная особая точка функции называется:
– устранимой особой точкой, если существует и конечен (4.1);
– полюсом, если (4.2);
– существенно особой точкой, если не существует (4.3).
Замечание 4.1. Если в случае устранимой особой точки положить , то будет аналитической в и точку можно считать правильной, т.е. не особой. В этом случае говорят, что в точке устранена особенность.
Пример 4.3. Определить тип особой точки для функций .
На основании результатов решения примеров 4.1, 4.2 заключаем, что ; полюсом для при любом и .
Пример 4.4. Определить тип особой точки и .
Рассмотрим . Для удобства введем обозначение . Для функции получим (см. пример 4.2), поэтому . Для функции точка не существует (см. пример 4.1).
Пример 4.5. Найти все конечные особые точки функций: а) б) и определить их тип.
Особыми точками дробей являются особые точки числителя, особые точки знаменателя и нули знаменателя.
а) Так как числитель и знаменатель функции — функции аналитические, то ее особыми точками являются только нули знаменателя, т.е. корни уравнения . Это четыре точки , или в алгебраической форме: . Заметим, что точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса .
Очевидно, все точки изолированные и являются полюсами, так как для любой точки .
б) Особыми точками функции являются нули знаменателя, т.е. точки, для которых или , а также являются полюсами, так как . Точка (. Точку , так как .
Теоремы Сохоцкого и Пикара
Для исследования поведения функции в существенно особой точке имеют место следующие две теоремы.
Теорема 4.1 (Сохоцкого). Если — существенно особая точка функции , то для любого существует последовательность , сходящаяся к точке , такая, что .
Теорема 4.2 (Пикара). В любой окрестности существенно особой точки функция принимает любое значение (причем бесконечное число раз) кроме, быть может, одного.
Пример 4.6. Исследовать поведение следующих функций в существенно особых точках, проиллюстрировать теоремы Сохоцкого и Пикара:
В примерах 4.3 и 4.4 показано, что точки и являются существенно особыми точками соответствующих функций. Исследуем пределы функций.
а) Для иллюстрации теоремы Сохоцкого выбираем , если , если , то есть для последовательности , такой, что и , и для последовательности , такой, что и .
Аналогично исследуем функцию . Для числа , где и тогда , а для , где и тогда .
Справедливость теоремы Пикара для этих функций следует из рассмотрения уравнений , которые, как известно, имеют бесконечное множество решений для любого .
Например, для функции имеем . Отсюда получаем
В частности, функция в любой окрестности точки принимает значение бесконечное множество раз: в точках (рис. 4.1).
б) Точка , можно повторить рассуждения предыдущего пункта для функции и точки .
Ряд Лорана в окрестности особой точки
В предыдущем разделе на примере простых функций (см. пример 4.2) было высказано предположение, что вид ряда Лорана в окрестности особой точки зависит от типа особой точки и потому задача исследования функции в особой точке может быть сведена к исследованию соответствующего ряда Лорана . Подтверждением этого предположения в общем случае является доказательство соответствующих утверждений.
1. Для того чтобы особая точка функции была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если — устранимая особая точка, то ряд Лорана функции имеет вид
для — конечной точки , и (для )
2. Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов. Ряд Лорана функции в случае полюса имеет вид
3. Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции в случае — существенно особой точки имеет вид
1. Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.
Так, точка является полюсом порядка функции , если в разложении (4.6) при является полюсом порядка функции , если в разложении (4.7) при .
2. Главная часть ряда Лорана в случае полюса порядка и записывается следующим образом:
а) в случае в виде , или , или, подробнее:
б) в случае в виде , или (см. (4.7)), или, подробнее:
3. Главная часть ряда Лорана в случае существенно особой точки записывается так:
а) в случае в виде , или (см.(4.8)), или, подробнее:
б) в случае в виде или (см.(4.9)), или, подробнее:
Пример 4.7. Определить тип особых точек функций: а) ; б) .
Особыми точками функций являются . Чтобы определить тип особой точки, используем разложения функций в окрестности каждой точки, полученные в примерах 3.31 , 3.33 , 3.34.
a) . В главной части разложения — один член ряда: , здесь , все для — полюс первого порядка, т.е. простой полюс функции .
Аналогично из разложения получим такой же результат: точка .
Разложение . Функции в окрестности .
б) Из разложения следует, что .
Из разложения , где и все для .
Разложение в окрестности .
Пример 4.8. Определить тип конечных особых точек для функций:
а) Используем разложения функций по степеням
Убеждаемся, что для всех указанных функций точка
Для первой функции при в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с отрицательными степенями. Следовательно, согласно п.1 утверждения 4.1, точка является устранимой особой точкой.
При является полюсом (см. п.2 утверждения 4.1). Кроме того, так как при , то, согласно п. 1 замечаний 4.2, заключаем, что при . Рассуждая аналогично, получаем, что .
Сравнивая разложения функций по степеням в окрестности (формулы (4.4),(4.6),(4.8) при ) и Утверждение 4.2
1. Чтобы , необходимо и достаточно, чтобы точка была устранимой (или не особой) для .
2. Чтобы функции , необходимо и достаточно, чтобы точка была полюсом порядка функции .
3. Чтобы , необходимо и достаточно, чтобы точка была существенно особой точкой функции .
Замечание 4.3. Как и в случае конечной особой точки , в которой функция не определена, но (см. утверждение 3.5) , так и для , устранимую особую точку . Порядок нуля можно определить как порядок нуля функции в точке .
Пример 4.9. Исследовать точку ; б) ; в) .
Для определения типа особой точки рассмотрим пределы .
а) Так как , то точка , получим, что и рассмотрим функцию , то есть . Так как является нулем третьего порядка функции , то .
б) Точка . Заметим, что для функции точка не является особой.
в) Точка — устранимая для .
Правила определения порядка полюса
Используя формулу (4.6) разложения функции в ряд в окрестности полюса, можно получить практически удобные правила определения порядка полюса, не требующие записи разложений в ряд в каждом конкретном случае.
Пусть — полюс порядка функции . Разложение (4.6), где главная часть имеет вид (4.10) , преобразуем следующим образом:
где — функция, аналитическая в точке , как сумма степенного ряда, записанного в скобках, и .
Далее рассмотрим функцию , то есть или , где — аналитическая в точке и . Из этого, согласно утверждению 3.5, следует, что является нулем порядка функции . Можно доказать и обратное утверждение.
А именно, если функция представлена в виде , где — функция, аналитическая в точке , и , то — полюс порядка функции , а также, если — нуль порядка функции , то для функции эта точка является полюсом порядка .
Кроме того, рассмотрим частное , где точка является нулем порядка и нулем порядка , то есть . При , из чего, с учетом приведенных выше рассуждений, находим, что — полюс порядка . Заметим, что при точка — устранимая особая точка; случай Утверждение 4.3
1. Для того чтобы точка была полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее можно было записать в виде
2. Для того чтобы точка была полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем порядка функции (связь нулей с полюсами).
3. Если точка является нулем порядка и нулем порядка , то она — полюс порядка для .
Пример 4.10. Определить порядок полюсов функций из примеров: а) 4.7 ; б) 4.8.
а) Функцию запишем в виде и , т.е. в виде (4.14), из чего заключаем, что обе особые точки из находим, что следует: , и формула (4.14) не применима, так как . Воспользуемся п.3 утверждения 4.3. В случае функции , точка для знаменателя. Поэтому она — полюс порядка для дроби . Для функции точка
1. Так как конечными особыми точками рациональной дроби являются только нули знаменателя, то это либо полюсы, либо устранимые особые точки функции.
2. Такое же заключение можно сделать и для функции вида , где — аналитическая функция. При этом, используя определение устранимой особой точки (4.1) и правила определения порядка нуля и полюса (утверждения 3.5 и 4.3), можно сделать следующие выводы относительно особой точки — нуля порядка знаменателя:
а) — полюс порядка , если ;
б) — полюс порядка , если — нуль порядка функции и ;
в) — устранимая особая точка функции , если — нуль порядка ;
г) — нуль порядка функции , если — нуль порядка функции и .
▼ Примеры нахождения особых точек и определения их типа
Пример 4.11. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:
Конечными особыми точками этих рациональных дробей являются нули знаменателя. Чтобы для каждой их этих точек определить, является ли она полюсом или устранимой особой точкой, нужно, согласно определению, найти предел функции в этой точке. В случае полюса, т.е. когда , далее следует определить его порядок. Для этого используется утверждение 4.3.
Можно поступить иначе — согласно замечанию 4.4. Для этого нужно найти и нули числителя.
а) Особые точки функции . Для точки можно применить формулу (4.14) и из , где и , получить, что эта точка — полюс второго порядка. Для точки формула (4.14) не применима, так как из имеем . Поступаем далее согласно замечанию 4.4. Раскладываем на множители числитель и записываем функцию
б) Особые точки функции — корни уравнения . Все эти точки: — простые нули знаменателя, и так как числитель в этих точках не обращается в нуль, то они — простые полюсы функции .
Пример 4.12. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:
Рассуждаем и производим действия, как в предыдущем примере. Заметим при этом, что в случае «б» в отличие от предыдущего примера особая точка является нулем числителя.
а) Раскладываем числитель и знаменатель на множители, записываем функцию . Получаем: — простой полюс функции ; — полюс второго порядка.
б) Конечные особые точки функции: ; функцию записываем в виде . Получаем: — устранимая особая точка, так как , а точки и — простые полюсы.
Пример 4.13. Найти конечные особые точки функций и определить их тип:
Конечными особыми точками этих функций вида , где — аналитическая функция, являются только нули знаменателя.
а) Особые точки функции: . Точки и — простые полюсы, так как числитель в этих точках не обращается в нуль и функцию можно представить в виде — точка или . В точках числитель обращается в нуль. Очевидно, это простые нули числителя, и поэтому его можно записать в виде — точка или . Тогда для функции получаем
Так как для или , то эти точки — устранимые особые точки функции .
б) Особые точки функции: . Точки и — простые полюсы.
Для точек и проводим рассуждения, как в предыдущем пункте, и находим, что они — устранимые особые точки .
Пример 4.14. Определить тип особой точки ; б) .
Решение. В точке функций
находим, что и нуль пятого порядка для знаменателя . Следовательно, .
б) Используя правила определения порядка нуля, в частности, как и в предыдущем пункте, раскладывая функции в ряды по степеням , находим, что для числителя и для знаменателя. Следовательно, .
Пример 4.15. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:
Конечными особыми точками функций, как и в предыдущих примерах, являются нули знаменателя.
а) Особые точки функции — корни уравнения , или , то есть . Эти точки — простые нули знаменателя, а поскольку числитель не обращается в нуль , то все они — простые полюсы функции.
б) Особые точки функции: и . Точка является нулем третьего порядка знаменателя, a — нули второго порядка. Так как в точках числитель в нуль не обращается, то эти точки — полюсы второго порядка для . Точки и для функции .
Пример 4.16. Определить тип особой точки ; б) ; в) ; г) .
а) Из разложений
находим, что для числителя и — для знаменателя, поэтому она — устранимая особая точка. Так как
то, полагая , можно считать, что , причем (см. замечания 4.4).
б) Из разложений
находим, что для числителя и — для знаменателя. Поэтому .
в) Как и в предыдущих пунктах, находим, что для числителя и — для знаменателя. Поэтому .
Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке
Рассмотрим бесконечно удаленную точку. Тип особой точки можно определить, вычисляя или раскладывая функцию в ряд Лорана (см. примеры 4.4, 4.7). Можно свести задачу к исследованию конечной точки (см. утверждение 4.2 и пример 4.9). В двух последних случаях определяется и порядок полюса.
Практически удобное правило определения порядка полюса для функции , тогда для и можно записать (см. (4.14)). Поэтому, обозначив , для получим
Представление функции в виде (4.15) является необходимым и достаточным условием полюса порядка функции в точке Замечание 4.5. Используя формулу (4.15), нетрудно убедиться, что если для и для , то для функции .
Пример 4.17. Определить тип особой точки для функций: а) ; б) .
Так как в обоих случаях, то Первый способ. Разложение функции по степеням имеет вид , все , и по определению (см. формулы (4.7), (4.11)) заключаем, что .
Второй способ. Обозначим , получим функцию , для которой . Поэтому, согласно п. 2 утверждения 4.2, точка для .
Третий способ. Запишем функцию в виде и, так как функция — удовлетворяет условиям формулы (4.15), получим, что для .
б) Разложение функции в ряд по степеням представляет некоторые трудности. Используем другие способы.
Первый способ. Обозначим , получим , или .
Поэтому является для и, следовательно, для .
Второй способ. Представим функцию в виде или , где , и, согласно формуле (4.15), для .
Третий способ. Используем замечание 4.5. Можно определить порядок полюса для дроби , зная соответствующие порядки полюсов числителя и знаменателя. Здесь, очевидно, для числителя и — для знаменателя (см. формулы (4.7), (4.11)). Поэтому для .
Пример 4.18. Определить порядок полюса в точке для следующих функций: а) ; б) .
Первый способ. Запишем разложения в ряд по степеням ;
Из разложений следует, что для каждой из заданных функций.
Второй способ. Обозначим и определим порядок полюса функции в точке
В каждом случае получаем представление функции в виде , следовательно, для . Поэтому для .
Третий способ. Представим функции в виде (4.15):
Так как удовлетворяет условиям формулы (4.15), то заключаем, что для .
Четвертый способ. Используем замечание 4.5, сравним порядки полюсов в точке и . Для первой функции для числителя и для знаменателя; для второй для числителя и для знаменателя. Следовательно, для каждой из функций .
Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций
Пусть — особая точка функций и и тип особой точки для каждой из функций известен. Требуется определить тип особой точки для функций . Рассмотрим следующие случаи.
Первый случай. Пусть точка го является полюсом порядка для функции и полюсом порядка для функции .
а) При исследовании суммы воспользуемся формулой (4.14) (п.1 утверждения 4.3) и запишем слагаемые в виде
При для суммы получаем или , где . Если , то для функции . Однако для функций может выполняться условие и’ следовательно, . В этом случае формула (4.14) не применима и точка не будет полюсом порядка . В соответствии с п.3 утверждения 4.3 порядок полюса будет меньше, чем в случае , где — порядок нуля функции . Если , то — устранимая особая точка для .
Таким образом, при сложении функций порядок полюса в точке может оказаться равным или меньше, чем наибольший из порядков слагаемых.
б) Для исследования произведения воспользуемся формулой связи нулей с полюсами (п.2 утверждения 4.3) и рассмотрим вспомогательные функции . Для первой из этих функций , для второй соответственно . а поэтому для она будет . Согласно п.2 утверждения 4.3, является для .
в) Аналогичные рассуждения для частного приводят к результату: при является для .
Второй случай. Пусть точка является полюсом, устранимой особой точкой или не особой для и существенно особой для . Так как не существует, то по свойству пределов он не существует для каждой из рассматриваемых комбинаций . Следовательно, для каждой из них — существенно особая точка. Заметим, что для функции эта точка является либо существенно особой точкой, либо не является изолированной особой точкой. Последнее проиллюстрировано в примере 4.5 для функции .
Третий случай. Пусть — полюс порядка для и устранимая особая точка для . Разложения этих функций в ряд в окрестности имеют вид (4.6) и (4.4) соответственно.
а) При сложении рядов в общей области сходимости получится ряд, главную часть которого будет составлять главная часть ряда функции . Следовательно, для точка — полюс порядка .
б) Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что такой же результат получится и для , если .
Если и для функции , то из равенства
заключаем, что .
в) Для частного при условии из равенства заключаем, что для .
Если и для , то, используя условие кратного нуля, из равенства
заключаем, что является для , где — порядок полюса функции — порядок нуля функции в точке .
Подводя итог, запишем следующее утверждение.
Утверждение 4.4
1. Пусть точка является для функции и для функции . Тогда:
а) для она будет , а при — устранимой особой точкой;
б) для она является ;
в) для она будет .
2. Пусть — существенно особая точка для функции и устранимая особая точка или полюс для функции . Тогда — существенно особая точка для .
3. Пусть точка является для функции и устранимой особой точкой для функции . Тогда:
а) для она будет ;
б) для она является , если , и , если и — порядок нуля в точке ;
в) для она будет , если , и , если и — порядок нуля в точке ;
4. Если точка для , то она существенно особая точка для сложной функции . В этом можно убедиться, рассматривая ряды для и в окрестности .
Пример 4.19. Определить тип особой точки , если , где , а функция определяется следующим образом:
Очевидно, точка для и для в первых двух случаях; в последнем случае для .
Для каждого из указанных случаев задания записываем разложение функции по степеням , из которого определяем тип точки
Пример иллюстрирует п.1 утверждения 4.4.
Пример 4.20. Найти особые точки функции . Определить их тип.
Особыми точками функции являются особые точки первого слагаемого , особая точка второго слагаемого являются простыми нулями знаменателя и поэтому простыми полюсами первой функции; для второго слагаемого эти точки не являются особыми. Поэтому точки -простые полюсы (см. п. 3 «а» утверждения 4.4).
Точка — это или простой полюс, или устранимая особая точка (см. п.1 «а» утверждения 4.4). Преобразуем разность в дробь: . Точка . Действительно,
Точка содержится бесконечное множество особых точек вида . Эта точка- предельная точка полюсов. Заметим, что для знаменателя первого слагаемого функции она — существенно особая точка.
Пример 4.21. Найти особые точки следующих функций, определить их тип:
Обозначим — первое слагаемое, — второе слагаемое функции , т.е. имеем .
а) Для точка является существенно особой точкой, так как это существенно особая точка для множителя этой функции. Поэтому она — существенно особая точка для (п. 2 утверждения 4.4).
Точки — полюсы второго порядка функции , так как ее можно записать в виде , где , а для знаменателя эти точки — нули второго порядка . Так как для эти точки не особые, то — полюсы второго порядка для (п. 3 утверждения 4.4).
С помощью аналогичных рассуждений получаем, что .
Особыми точками являются корни уравнения . Все они — простые нули знаменателя- функции , а потому — простые полюсы для . Так как эти точки не являются особыми для , то для — это простые полюсы.
Точка — неизолированная особая точка .
б) Точка — полюс дроби является существенно особой точкой для (п.4 утверждения 4.4), поэтому она — существенно особая точка для и, следовательно, для .
Точка , так как можно записать . Поскольку , то она — простой полюс для .
Точка , так как она — простой нуль и для числителя, и для знаменателя дроби . Так как , то она — устранимая особая точка для .
Особыми точками являются простые нули знаменателя — корни уравнения . Все точки
являются простыми полюсами для и, следовательно, простыми полюсами для .
Найти особые точки функции, указать их тип, найти вычеты.
Найти особые точки функции, указать их тип, найти вычеты:
Решение от преподавателя:
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.