Как разложить функцию в ряд лорана

15. Ряды Тейлора и Лорана

Где Г – окружность с центром в точке , целиком лежащая в области аналитичности . Областью сходимости ряда является круг с центром в точке разложения радиуса R, равном расстоянию от центра разложения до ближайшей осо бой точки – точки, в которой теряет аналитичность.

Теорема Тейлора. Функция , аналитическая в круге однозначно представима в нем своим рядом Тейлора (5.10), коэффициенты которого определяются по формулам (5.11).

Из этой теоремы и теоремы о возможности дифференцирования степенного ряда в круге сходимости любое число раз следует, что разложение функции в степенной ряд единственно. Это означает, что по любому методу разложения функции в степенной ряд мы получаем одно и то же разложение – ряд Тейлора. При ряд (5.10) называется рядом Маклорена.

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:

Для непосредственного разложения функции в степенной ряд (ряд Тейлора), необходимо найти закон получения производной N-го порядка (подобные примеры опустим).

Пример 1. Разложить в ряд по степеням функцию .

Решение. Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической функции . Воспользуемся разложением 4) из (5.12) для , полагая . Так как разложение 4) имеет место при , то наше разложение будет иметь место при . Таким образом, для : .

Часто при разложении функций в ряд удобно пользоваться дифференцированием или интегрированием известных разложений, а при разложении рациональной дроби – разложением ее на простейшие.

Пример 2. Разложить в ряд по степеням Z функцию .

Решение. Разложим на простейшие дроби: . По формуле суммы геометрической прогрессии 7) из (5.12) получим:

. Замечая, что и применяя теорему о возможном почленном дифференцировании степенного ряда в круге сходимости, получим , . Складывая ряды для и , имеем , .

2°. Ряды Лорана.

Определение. Рядом Лорана называется ряд (5.6)

При этом ряд называется главной частью ряда Лорана, а ряд — правильной частью. Если , то областью сходимости ряда (5.6) является кольцо .

Теорема Лорана. Если функция аналитична в кольце , то в этом кольце она единственным образом представима в виде ряда Лорана (5.6), коэффициенты которого вычисляются по формулам:

Заметим, что из этой теоремы “кольца разложимости” определяются через расстояния от центра разложения до двух “соседних” особых точек . Вычисление контурных интегралов (5.14), как правило, достаточно затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются различные искусственные приемы.

Пример 1. Разложить в ряд Лорана в кольце функцию .

Решение. Преобразуем данную функцию:

Первые два слагаемых в правой части (1) имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности . Последние два слагаемых запишем в виде: , . Применяя формулу 7), а затем 8) (из (5.12)), найдем

Подставляя (2) и (3) в (1), после несложных преобразований получим разложение в кольце в ряд Лорана:

Пример 2. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности .

Решение. Для любого комплексного имеем
Полагая , получим: . Это разложение справедливо для любой точки . В данном случае “кольцо” представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой : .

Пример 3. Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функции .

Решение. Функция имеет две особые точки: и . Следовательно, имеется три “кольца” с центром в точке , в каждом из которых является аналитической: а) круг ; б) кольцо ; в) — внешность круга . Найдем ряды Лорана для функции В каждом из этих “колец”. Представим предварительно функцию в виде суммы простейших дробей: (1). а)разложение в круге . Преобразуем (1) следующим образом: (2). Используя формулу 7) из (5.12), получим: , (3); , (4). Подставляя эти разложения в (2), получим: — это разложение есть ряд Маклорена функции . б) разложение в кольце . Ряд (4) для функции остается сходящимся в этом кольце, так как . Ряд (3) для функции расходится для . Поэтому преобразуем следующим образом:
(5). Применяя формулу 7), получим: (6). Этот ряд сходится, если , то есть при . Подставляя (4) и (6) в (5), найдем . в) разложение для . Ряд (4) для функции при расходится, а ряд (6) для функции будет сходиться, так как, если , то и подавно . Функцию представим в таком виде . Используя формулу 7), получаем . Заметим, что этот пример показывает, что для одной и той же функции ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец.

Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности ее особых точек.

Решение. Особые точки функции: . а) разложение в окрестности точки , то есть в кольце . Представим функцию в виде суммы простейших дробей: . Правую часть преобразуем так: . Применяя разложение 7), в котором Z Заменим на , получим или . б) разложение в окрестности точки , то есть в кольце . Имеем .

• Главная
• Заказать работу
• Стоимость решения
• Варианты оплаты
• Ответы на вопросы (FAQ)
• Отзывы о нас
• Примеры решения задач
• Методички по математике
• Помощь по всем предметам
• Заработок для студентов

Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Ранее рассматривалась задача разложения функции в степенной ряд , при этом функция предполагалась аналитической в точке , а ряд сходящимся в круге .

Другим частным случаем функциональных рядов, наряду со степенными, является ряд ряд по целым степеням разности . Такой ряд сходится в кольце и его сумма — функция аналитическая внутри этого кольца.

Можно рассматривать задачу разложения функции, аналитической в кольце . Имеет место теорема, аналогичная теореме 3.3.

Теорема Лорана о разложении функции в ряд по целым степеням

Теорема 3.5 (Лорана). Функция , аналитическая в кольце, представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

где — произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку ; в частности, — окружность .

Имеют место следующие определения.

1. Ряд коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25), называется рядом Лорана функции .

Заметим, что формула (3.16) получается из формулы (3.25) при , но для коэффициентов ряда Лорана не имеет места формула вида (3.17), так как функция в точке может быть не определена.

2. Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями — называется правильной частью ряда Лорана ; члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана : или .

3. При . Это — круг с выколотым центром. Точка — особая точка функции, и разложение в этом случае называется разложением функции в окрестности особой точки.

4. При область есть внешность круга. В частном случае при — внешность круга . Разложение в этом случае называется разложением в окрестности бесконечно удаленной точки и имеет вид

Здесь совокупность неотрицательных степеней образует главную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки; совокупность отрицательных — правильную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пример 3.30. Исследовать возможность разложения функции в ряды Тейлора и Лорана.

Функцию нельзя разложить в ряд по степеням ни в окрестности точки (ряд Тейлора), ни в окрестности точки (ряд Лорана), так как эти точки являются точками ветвления функции и в их окрестностях невозможно выделение однозначных ветвей.

Невозможны также разложения этой функции в ряды по степеням и , поскольку точки — также точки ветвления. Разложения по степеням , где , возможны.

Функция же раскладывается по степеням и в ряд Тейлора в круге и в ряд Лорана в области (окрестность бесконечно удаленной точки), а также в кольце . Возможны разложения и по степеням и в кольцевых областях, а также в окрестностях особых точек .

Так как ряды по целым степеням обладают свойствами степенных рядов (см. утверждение 3.2), то, учитывая теорию и практику решения задачи разложения функции в степенной ряд (см. утверждения 3.3 и 3.4), можно сформулировать следующее утверждение.

1. Функция, аналитическая в кольце , разлагается в этом кольце в ряд Лорана (3.24), коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25).

2. Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов — неравенство Коши:

где — радиус окружности (частный случай контура ), по которой производится интегрирование в (3.25).

3. На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции — его суммы.

4. Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки и окрестности бесконечно удаленной точки .

5. Разложение в ряд Лорана сводится к разложению в ряд Тейлора, используются основные разложения и действия над рядами.

6. При разложении рациональных дробей, как и в случае рядов Тейлора, выдерется целая часть неправильной дроби, а правильная записывается в виде суммы элементарных дробей, для разложения которых используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При этом элементарные дроби преобразуются следующим образом:

– для получения правильной части, т.е. ряда, сходящегося в круге , разложение элементарной дроби записывается в виде

– для получения главной части, т.е. ряда, сходящегося вне круга , изложение элементарной дроби записывается в виде

Примеры разложения функций в ряд Лорана

Пример 3.31. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .

Функция является аналитической всюду, кроме точек и , в частности: в круге , в кольце и в окрестности бесконечно удаленной точки (рис. 3.4).

В круге функция раскладывается в ряд Тейлора (см. пример 3.21). Получим разложения в двух других областях.

Рассмотрим разложение в кольце. Дробь правильная, ее разложение на элементарные дроби получено в примере (3.21):

Чтобы получить разложение в кольце, первое слагаемое раскладываем в области , т.е. записываем главную часть ряда, второе — в круге — правильная часть. Получаем разложения:

Записываем окончательный результат:

Здесь первое слагаемое — главная часть, а второе — правильная часть ряда Лорана в кольце .

Чтобы получить разложение в области — окрестности бесконечно удаленной точки, нужно и второе слагаемое разложить по отрицательным степеням:

В результате получаем разложение в окрестности бесконечно удаленной точки:

Заметим, что главная часть ряда отсутствует, так как в разложении присутствуют только члены с отрицательными степенями.

Пример 3.32. Разложить функцию в ряд Лорана: а) по степеням ; б) по степеням .

а) Особыми точками функции являются точки и , причем вторая — ближайшая к центру разложения, т.е. к (рис. 3.5,а); расстояние между и равно единице, поэтому в круге функция раскладывается в ряд Тейлора. Расстояние от до другой особой точки равно трем, и в кольце данная функция является аналитической и раскладывается в ряд Лорана. Аналитической она является и в области и раскладывается в ней также в ряд Лорана по степеням . Оба разложения получаем, как в предыдущем примере, причем замену

Разложение в кольце

Разложение в области

б) Задача решается так же, как и в предыдущем пункте. Различие заключается в том, что в данном случае обе особые точки расположены на одном расстоянии от центра — точки . Поэтому разложения по степеням могут быть получены в круге и в вырожденном кольце — в области (рис. 3.5,б). Разложение в круге | — ряд Тейлора — получено в примере 3.21. Запишем разложение в области

Пример 3.33. Записать разложения функции в окрестностях особых точек.

Особыми точками дроби являются . Решим задачу для каждой особой точки .

Разложение в окрестности бесконечно удаленной точки получено в примере 3.31:

Заметим, что в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с положительными степенями .

Запишем разложение в окрестности точки . Расстояние до другой особой точки — проколотая окрестность, которая записывается в виде (рис. 3.6).

В разложении исходной дроби на элементарные первое слагаемое записано по степеням (уже разложено). Это разложение содержит только главную часть, состоящую из одного члена: здесь все , кроме , и разложение имеет место в области . Второе слагаемое раскладываем в окрестности и, так как для него эта точка не является особой, получим ряд Тейлора в круге . Для исходной дроби это будет правильная часть ряда Лорана:

Для точки задача решается аналогично (рис. 3.6):

Получаем ответ: — разложение функции в окрестности особой точки . Заметим, что в полученных разложениях в окрестности каждой особой точки главная часть содержит только одно слагаемое.

Пример 3.34. Исследовать разложения функции по степеням . Записать разложения в окрестностях особых точек.

Функция может быть разложена в ряд Тейлора по степеням . окрестности любой конечной точки ; окрестностью будет круг , где — наименьшее из расстояний от точки до особых точек (рис. 3.7,а).

В ряд Лорана по степеням функция может быть разложена в кольце , где и , а также во внешности круга, т.е. в области (рис. 3.7,а). Если , то разложение будет иметь место только в вырожденном кольце вида , так как в этом случае точка го одинаково удалена от обеих особых точек и

Особенностью примера является наличие в знаменателе множителя , поэтому в разложении дроби на элементарные присутствует дробь , а именно имеет место равенство

Для разложения дроби по степеням используется правило дифференцирования рядов (см. пример 3.22).

Запишем разложение функции в окрестности — особой точки.

В случае в разложении дроби на элементарные две первые дроби представляют собой слагаемые требуемого вида (уже разложены): . Эти разложения справедливы во всей плоскости с выколотой точкой , т.е. в области .

От третьего слагаемого получаем правильную часть ряда Лорана:

В главной части разложения присутствуют два члена, при этом .

В случае разложения в окрестности главная часть разложения содержит одно слагаемое ; правильная получается от разложения дробей и по степеням .

Найдем эти разложения:

Пример 3.35. Разложить функцию и .

Оба разложения — разложения по степеням и получаются из основного разложения, а именно

Различие разложений заключается в записи правильной и главной частей. Так, в случае точки правильная часть содержит конечное число слагаемых — четыре и ответ записывается в виде

В случае конечное число слагаемых образует главную часть и ответ записывается в виде

Пример 3.36. Разложить по степеням функции: а) ; б) . С помощью полученных разложений найти .

Применяем основные разложения для

Таким образом, получаем результат: .

Справа записан степенной ряд, сходящийся всюду, его сумма при равна , а при .

Получаем или . Результат можно записать в виде асимптотической формулы:

Получен результат: . Отсюда . Результат, как и в случае «а», можно записать в виде асимптотической формулы: .

19.8.3. Примеры разложения функций в ряд Лорана.

Пример 1. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции . Здесь z₀ = 2; функция теряет аналитичность в точках z₁ = 0, z₂ = -4. Легко видеть, что существует три области аналитичности с центром в z₀ (один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность: 1. | z – 2| < 2; 2. 2 < | z – 2| < 6; 3. | z – 2| > 6. В каждой из этих областей разложение будет таким: 1. В первой области (круге) функция аналитична, поэтому ряд Лорана будет совпадать с рядом Тейлора. — таково разложение f(z) на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора каждую их них. , где | z – 2| < 2; ; это разложение справедливо, если | z – 2| < 6, т.е. в первой и второй областях. Окончательно в первой области . Этот ряд содержит только правильную часть. 2. В кольце 2 z – 2| < 6 знаменатель второй геометрической прогрессии (для дроби ) по модулю , поэтому разложение остаётся в силе. Для первой дроби, с учётом того, что , получим =. Это — главная часть ряда Лорана. Разложение имеет вид. 3. В кольце для первой дроби разложение такое же, как и в предыдущем случае: или. Для второй дроби . Ответ можно записать и в форме , и в форме . В этом разложении имеется только главная часть. Пример 2. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням. Решение. Здесь функция теряет аналитичность только в точке , поэтому . Главная часть здесь равна , остальные слагаемые образуют правильную часть. Пример 3. Разложить функцию в ряд Лорана по степенямz + 2. Решение. Здесь z₀ = -2; функция теряет аналитичность только в точке z₀ и в точке z₁ = 2, отстоящей от z₀ на расстоянии 4, поэтому имеется два кольца: 1. 0 z + 2| z – 2| > 4. . Первый множитель уже представлен в виде суммы по степеням | z + 2|, работаем со вторым. Третью степень в знаменателе получим, дважды дифференцируя разложение функции . 1. В первом кольце 0 z + 2| < 4 получаем ,,, . Это и есть искомое разложение в первом кольце. Его можно преобразовывать, например, собрать вместе члены с одинаковыми степенями z + 2, выделить главную часть: и т.д., но это уже не принципиально. 2. Во втором кольце | z + 2| > 4 получаем ,,,. 133

Как разложить функцию в ряд лорана

1. Поместите курсор в конец функции, вставьте оператор аналитического преобразования и введите ключевое слово series в местозаполнитель.

Результирующий ряд содержит большое число членов с ненулевыми коэффициентами четных и нечетных степеней x, но по умолчанию PTC Mathcad возвращает первые шесть членов. Укажите ключевое слово series,6 и убедитесь, что будет получен тот же самый результат.

• Если первый ненулевой член ряда соответствует степени x n , PTC Mathcad возвращает члены с x n по x n+k-1 .

• Для приведенного выше примера n=0 , k=6 и n+k-1=5 , а последний отображаемый член содержит x 5 .
• PTC Mathcad не отображает члены, коэффициенты которых равны 0

2. Чтобы получить другое число членов, введите после ключевого слова запятую, а затем положительное целое число k .

Приведенное выше вычисление вызывает возврат членов разложения функции sin вплоть до члена, содержащего x n+k-1 или x 7 , но результат содержит только четыре члена. Это обусловлено тем, что для членов, содержащих x 0 , x 2 , x 4 , x 6 , коэффициенты равны 0, поэтому они не отображаются.

3. Чтобы разложить функцию в окрестностях точки, отличной от 0, укажите после ключевого слова series значение переменной с помощью логического оператора равенства.

• По умолчанию PTC Mathcad выполняет разложение функции в окрестностях точки 0.

• Если выражение содержит несколько переменных, введите запятую после ключевого слова series , а затем введите разделенный запятыми список переменных, по которым нужно выполнить разложение в ряд.