Как найти катеты прямоугольного треугольника если известна гипотенуза и площадь

как найти катеты прямоугольного треугольника зная площадь и гипотинузу

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а площадь 120 см2. Найдите меньший катет.
Очень просто. Обозначим катеты как a и b. По теореме Пифагора a^2 + b^2 = 26^2 = 676. Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: a*b*0.5 = 120. Составляем систему из этих двух уравнений. Решаем подстановкой, допустим, возьмем катет a: a = 120/(0.5*b) = 120*2/b = 240/b. Далее подставляем в первое уравнение. Только не пугайся, числа большие: (240/b)^2 + b^2 = 676; 57600/b^2 + b^2 = 676. Умножаем обе части на b^2 (в этом отношении мы можем делать что угодно, ведь длина катета — величина положительная) : 57600 + b^4 = 676*b^2. Переносим все в левую часть:
b^4 — 676*b^2 +57600 = 0. Заменим b^2 на x, тогда b^4 = x^2: x^2 — 676x +57600 = 0. Решаем квадратное уравнение: дискриминант равен
D= (-676)^2 — 4*1*57600 =4*((338^2-57600)=4*( 114244 — 57600) =4* 56644= 4*4*49*289 = (2*2*7*17)^2=476^2. Далее находим корни: x1 = (676 — 476)/(2*1) = 200/2 = 162/2 =100. Т. е. x1 = 100, а значит b1 = корень квадратный из 100 = 10 (помним: длина катета — величина положительная) . Т. е. один катет мы уже нашли — он равен 10 см. Второй корень уравнения лучше не искать, второй катет можно найти из подстановки a = 240/b = 240/10 = 24. Все. Мы нашли катеты, они равны 10 см и 24 см соответственно. Задача решена. Можно сделать проверку: площадь равна 0.5*a*b = 0.5*10*24 = 120 см^2.

решить систему уравнений
xy = 2S

а скольки они равны?

1). Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2) Площадь равна полупоизведению катетов. Ну, вот, два уравнения с двумя неизвестными. Решишь сам систему?

Катеты прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике, зная катеты, можно найти гипотенузу через теорему Пифагора. Для этого нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов. с=√(a^2+b^2 ) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а периметр – сумме катетов и гипотенузы. S=ab/2 P=a+b+c=a+b+√(a^2+b^2 ) Углы в прямоугольном треугольнике найти, зная катеты, тоже невероятно просто. Отношение одного катета к другому будет тангенсом противоположного угла и котангенсом близлежащего. (рис. 79.1) tan⁡α=a/b cot⁡α=a/b С другой стороны, зная один из углов, можно найти второй, отняв его из 90 градусов. α=90°-β Высота у прямоугольного треугольника всего одна, и она относится к любому из катетов как косинус прилежащего к нему угла. (рис. 79.2) cos⁡α=h/b h=b cos⁡α cos⁡β=h/a h=a cos⁡β Формула медианы в прямоугольном треугольнике преобразуется в отношение гипотенузы к двум или радикала из суммы квадратов катетов к двум, если даны только катеты. (рис. 79.3) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2=√(2c^2-c^2 )/2=√(c^2 )/2=c/2=√(a^2+b^2 )/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4b^2+a^2 )/2 Биссектриса, опущенная на гипотенузу, вычисляется аналогично произвольному треугольнику, с подстановкой радикала вместо гипотенузы. (рис.79.4) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)=√(ab((a+b)^2-с^2))/(a+b)=√(ab(a^2+2ab+b^2-a^2-b^2))/(a+b)=√(ab*2ab)/(a+b)=(ab√2)/(a+b) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b-c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c) Средние линии прямоугольного треугольника образуют внутри него еще один прямоугольный треугольник. Внутренний треугольник будет подобен внешнему, так как средние линии параллельны катетам и гипотенузе, и равны соответственно их половинам. Поскольку гипотенуза неизвестна, для нахождения средней линии M_c нужно подставить радикал из теоремы Пифагора. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2=√(a^2+b^2 )/2 Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике вычисляется по упрощенной формуле для произвольного треугольника, а радиус описанной окружности является половиной гипотенузы и совпадает с медианой. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+b-√(a^2+b^2 ))/2 R=m=c/2=√(a^2+b^2 )/2

Как найти катеты прямоугольного треугольника если известна площадь и гипотенуза?

Написать формулу площади квадрата и вспомнить теорему Пифагора.

Например AB и AC-катеты, BС-гипотенуза.
S=0,5AB умножить AC,следовательно AC=2S поделить на AB.
AB=x,тогда AC=2S поделить на x.
По теореме Пифагора=(чтобы было понятно-каждое число в квадрате!) =AB+AC=BC.
И подставляем числа, ищем X.
Вроде всё.

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Как найти катеты прямоугольного треугольника если известно гипотенуза 6 и площадь 9?

Высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу из вершины прямого угла, равна 9:6·2= 3 см
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Найдем эти отрезки, обозначив один из них х, другой 6-х:

9=х(6-х)
9=6х-х²
3²= x *(6-x)
х²-6х+9=0
Решив это квадратное уравнение, найдем два одинаковых корня х=3
Следовательно, отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны, и треугольник — равнобедренный.
Высота равна 3, половина гипотенузы=3.
Из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3 найдем боковую сторону ( катет исходного треугольника)
х²=3²+3²=18
х= √18=3√2
Катеты равны 3√2

Площадь найдем половиной произведения катетов:

S= (3√2)·(3√2):2=9·2:2=9 cм²